Apunte

194 8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Para el método de Milne, k = 2, (α0, α1, α2) = (−1, 0, 1) y (β0, β1, β2) = ( 1 4 1
3 , 3 , 3 ).
C0 = α0 + α2 = 0,
C1 = 2α2 − (β0 + β1 + β2) = 2 − ( 6
3 ) = 0,
C2 = 1
2 (22α2) − (β1 + 2β2) = 1
2 (22 ) − ( 4 2
3 + 3 ) = 0,
C3 = 1
6 (23α2) − 1
2 (β1 + 22β2) = 1
6 (23 ) − 1 4 22
2 ( 3 + 3 ) = 0,
C4 = 1
24 (24α2) − 1
6 (β1 + 23β2) = 1
24 (24 ) − 1 4 23
6 ( 3 + 3 ) = 0,
C5 = 1
120 (25α2) − 1
24 (β1 + 24β2) = 1
120 (25 ) − 1 4 24
24 ( 3 + 3
El método resulta con orden de convergencia p = 4.
) = 4
15
5 1 − 18 = − 90 = 0.
4. Ejercicios
x ′ = 2x en [0, 1],
1. Utilizar el método de Euler para resolver
x(0) = 1.
empleando pasos h = 0,1, h = 0,05 y h = 0,01. Graficar las tres soluciones numéricas
obtenidas junto con la solución exacta.
2. Hacer el mapa de curvas integrales en la región [0, 10] × [0, 10] de la ecuación diferencial
x ′ (t) = (x(t) − 5).(cos 2 (t) − 0,5),
graficando simultáneamente, para k = 0, 1, . . . , 10, la solución que se obtiene utilizando
el método de Euler con paso h = 0,01 y con condición inicial
x(0) = k.
x ′ = λx
3. Considerar el problema
.
x(0) = x0
a) Probar que el método de Euler con paso h genera la sucesión:
xi = (1 + λh) i x0 i = 0, 1, . . .
b) Mostrar que si λ < 0, la solución exacta tiende a cero a medida que x crece.
c) Para λ < 0, determinar para qué valores de h ocurre que xi → 0 cuando i → ∞.
4. Se considera el problema
x ′ (t) = x(t) + t 2 + 3 en [0, 2]
x(0) = −2
a) Demostrar que la solución es una función convexa.
b) Utilizar los métodos de Euler explícito e implícito, con paso h = 0,05 para obtener
dos aproximaciones de la solución y graficarlas. Decidir en que región del gráfico
deberá situarse la solución analítica del problema.
c) Graficar la solución que se logra al utilizar el comando ode45 de Matlab.
5. Se considera la siguiente ecuación diferencial:
x ′ (t) = 2x(t) − 5 sen(t)
x(0) = 1
cuya solución exacta es la función x(t) = 2 sen(t) + cos(t). Graficar simultáneamente en
el intervalo [0, 4] la solución exacta y las que se obtienen con los métodos de Euler y
Taylor de orden 2, ambos con paso h = 0,05.