Apunte

More documents

Recommendations

Info

180 8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS para todo x, y ∈ IR y t ∈ [t0, T ]. Entonces, se tiene |x(T ) − xn| ≤ τmáx K (eK(T −t0) − 1), (8.20) donde τmáx = máx 1≤i≤n {|τi|} con τi el error de truncamiento local del método en el paso i. Demostración. Sea ei = x(ti) − xi, el error global que se comete hasta el paso i. Consideramos la ecuación del método y la definición de τi (8.16), luego, xi+1 = xi + hΦ(ti, xi, h) x(ti+1) = x(ti) + hΦ(ti, x(ti), h) + hτi ei+1 = x(ti+1) − xi+1 = ei + h(Φ(ti, x(ti), h) − Φ(ti, xi, h)) + hτi. Usando que φ es Lipschitz se obtiene |ei+1| ≤ |ei| + h|Φ(ti, x(ti), h) − Φ(ti, xi, h)| + h|τi| ≤ |ei| + hK|x(ti) − xi| + h|τi| ≤ (1 + Kh)|ei| + h|τi|. Como |τi| ≤ τmáx, llamando A = 1 + Kh, tenemos |ei+1| ≤ A|ei| + hτmáx. Usando esta acotación para i = 0 y teniendo en cuenta que e0 = 0 se tiene |e1| ≤ hτmáx, |e2| ≤ A|e1| + hτmáx ≤ Ahτmáx + hτmáx = (1 + A)hτmáx, |e3| ≤ A|e2| + hτmáx ≤ A(1 + A)hτmáx + hτmáx = (A + A 2 )hτmáx + hτmáx = (1 + A + A 2 )hτmáx
Iterando el procedimiento, podemos ver que 2. ANÁLISIS DEL ERROR Y CONVERGENCIA 181 n−1 A j . |en| ≤ (1 + A + A 2 + · · · + A n−1 )hτmáx = hτmáx j=0 Ahora, usando la fórmula para suma de potencias tenemos es decir Como para α > 0 se tiene entonces, A |en| ≤ hτmáx n − 1 A − 1 , (1 + Kh) |en| ≤ hτmáx n − 1 Kh (1 + α) n ≤ e nα |en| ≤ τmáx K (enKh − 1) = τmáx lo que concluye la demostración. = τmáx (1 + Kh) K n − 1 . K (eK(T −t0) − 1), Bajo las hipótesis del Teorema 8.10 se deduce, de la fórmula (8.20), que un método de un paso es convergente si lím τmáx = 0. El resultado que sigue, del cual omitimos demostración permite h→0 verivicar facilmente si lím τmáx = 0. h→0 Proposición 8.11. Para un método de un paso con función de incremento Φ continua en sus tres variables, se tiene que lím h→0 τmáx = 0 si y sólo si Φ(t, x, 0) = f(t, x). Observación 8.12. Los métodos de Euler, los de Taylor y de Rungge-Kutta son convergentes. Demostración. Para los métodos de Taylor se tiene x(ti + h) ∼ x(ti) + hx ′ (ti) + 1 2 h2x ′′ (ti) + · · · + 1 k! hkx (k) (ti), y por tanto Φ(t, x, h) = x ′ (t) + 1 2 hx′′ (t) + · · · + 1 k! hk−1x (k) (t). Al evaluar en h = 0 tenemos, Φ(t, x, 0) = x ′ (t) = f(t, x). En cuanto a los métodos de Runge-Kutta, sólo verificaremos los dados por las fórmulas (8.11) y (8.12). El método de orden 4 dado por (8.15) queda como ejercicio.
Page 1:
ELEMENTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO Ric
Page 4 and 5:
4 Índice general 4. Cuadratura Gau
Page 6 and 7:
2 1. PUNTO FLOTANTE Y REDONDEO x =
Page 8 and 9:
4 1. PUNTO FLOTANTE Y REDONDEO Obse
Page 10 and 11:
6 1. PUNTO FLOTANTE Y REDONDEO Como
Page 12 and 13:
8 1. PUNTO FLOTANTE Y REDONDEO Hast
Page 14 and 15:
10 1. PUNTO FLOTANTE Y REDONDEO p(x
Page 16 and 17:
12 1. PUNTO FLOTANTE Y REDONDEO Obs
Page 18 and 19:
14 1. PUNTO FLOTANTE Y REDONDEO El
Page 20 and 21:
16 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO Tam
Page 22 and 23:
18 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO Obs
Page 24 and 25:
20 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO en
Page 26 and 27:
22 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO A =
Page 28 and 29:
24 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO Obs
Page 30 and 31:
26 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO El
Page 32 and 33:
28 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO En
Page 34 and 35:
30 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO gra
Page 36 and 37:
32 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO con
Page 39 and 40:
Capítulo 3 Resolución de sistemas
Page 41 and 42:
1. MÉTODOS DIRECTOS 37 Teorema 3.1
Page 43 and 44:
Para k = 1, 2, . . . , N hacemos
Page 45 and 46:
Es decir 2. MÉTODOS ITERATIVOS 41
Page 47 and 48:
2. MÉTODOS ITERATIVOS 43 Entonces
Page 49 and 50:
2. MÉTODOS ITERATIVOS 45 donde ε
Page 51 and 52:
En conclusión, queda DCBC −1 D
Page 53 and 54:
O bien, 2. MÉTODOS ITERATIVOS 49
Page 55 and 56:
2. MÉTODOS ITERATIVOS 51 Ahora ana
Page 57 and 58:
2. MÉTODOS ITERATIVOS 53 Concluimo
Page 59 and 60:
Ejemplo 3.17. Sea A ∈ IR 3 una ma
Page 61 and 62:
2. MÉTODOS ITERATIVOS 57 Demostrac
Page 63 and 64:
pues z ∗ Az > 0 y z ∗ Dz > 0 (a
Page 65 and 66:
3. EJERCICIOS 61 no y, sin hacer c
Page 67:
3. EJERCICIOS 63 calcule el menor d
Page 70 and 71:
66 4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
Page 90 and 91:
Page 93 and 94:
Capítulo 5 Interpolación El objet
Page 95 and 96:
1. INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE 91 Ob
Page 97 and 98:
2. ERROR DE INTERPOLACIÓN 93 reemp
Page 99 and 100:
3. FORMA DE NEWTON 95 f[x0, . . . ,
Page 101 and 102:
Por lo tanto 4. POLINOMIOS DE TCHEB
Page 103 and 104:
4. POLINOMIOS DE TCHEBYCHEV - MINIM
Page 105 and 106:
4. POLINOMIOS DE TCHEBYCHEV - MINIM
Page 107 and 108:
Comentarios: 4. POLINOMIOS DE TCHEB
Page 109 and 110:
5. INTERPOLACIÓN DE HERMITE 105 p(
Page 111 and 112:
cuando n → ∞. 6. INTERPOLACIÓN
Page 113 and 114:
7. EJERCICIOS 109 Derivando, y util
Page 115 and 116:
7. EJERCICIOS 111 12. Calcular el g
Page 117 and 118:
Capítulo 6 Polinomios ortogonales
Page 119 and 120:
Definimos los polinomios de Bernste
Page 121 and 122:
1. PRELIMINARES 117 Ejemplos 6.3. 1
Page 123 and 124:
La desigualdad triangular se obtien
Page 125 and 126:
2. SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE AP
Page 127 and 128:
Notemos que si el problema original
Page 129 and 130:
Demostración. Se hace por inducci
Page 131 and 132:
2. SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE AP
Page 133 and 134: y por lo tanto, bn = 〈xqn−1, qn
Page 135 and 136: 3. EJERCICIOS 131 9. Decidir cuále
Page 137 and 138: Capítulo 7 Integración numérica
Page 139 and 140: 1. FÓRMULAS DE NEWTON-CÔTES 135 1
Page 141 and 142: a 1. FÓRMULAS DE NEWTON-CÔTES 137
Page 143 and 144: 1. FÓRMULAS DE NEWTON-CÔTES 139 P
Page 145 and 146: 2. ESTIMACIÓN DEL ERROR 141 Defini
Page 147 and 148: 2. ESTIMACIÓN DEL ERROR 143 Consid
Page 149 and 150: Luego, |R(f)| = h3 12 |f ′′ (η
Page 151 and 152: 3. FÓRMULAS DE CUADRATURA COMPUEST
Page 157 and 158: 4. CUADRATURA GAUSSIANA 153 hasta e
Page 159 and 160: Entonces I(p) = = b a b a 4. CUAD
Page 161 and 162: Si queremos usar la fórmula anteri
Page 163 and 164: y por lo tanto, π 2 − π 2 Iter
Page 165 and 166: 5. CONVERGENCIA DE LOS MÉTODOS DE
Page 167 and 168: 6. EJERCICIOS 163 6. Ejercicios 1.
Page 169: 6. EJERCICIOS 165 a) Probar que, cu
Page 172 and 173: 168 8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DI
Page 200: 196 8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DI
show all

Apunte

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?