Apunte

Capítulo 1
Punto flotante y redondeo
El objeto de este capítulo es analizar la representación de los números en una computadora y la
propagación de los errores de redondeo al realizar cálculos.
Como la cantidad de información que puede guardarse en una computadora es finita, la máquina
trabajará sólo con un conjunto finito de números. A estos los llamaremos números de máquina.
En consecuencia, toda vez que de nuestros datos o cálculos surja un número que no pertenece a
este conjunto finito, éste deberá ser reemplazado por una aproximación (el número de máquina
más cercano). Este reemplazo da lugar a lo que llamamos errores de redondeo.
Al realizar cálculos estos errores de redondeo se propagan y esto puede llevar a resultados
totalmente incorrectos como veremos en algunos ejemplos simples.
En las aplicaciones del cálculo numérico es prácticamente imposible determinar exactamente la
magnitud de los errores de redondeo. Lo que si puede hacerse, y es de fundamental importancia,
es identificar las posibles causas de que los errores se propaguen más de lo admisible. Esto
permite mejorar los algoritmos o determinar que método es más conveniente para resolver un
problema. Un claro ejemplo de esto, que veremos más adelante, aparece cuando se utiliza el
método de eliminación de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En este caso,
el análisis de la propagación de errores permite determinar la forma más eficiente de aplicar el
método.
Por otra parte, es fundamental distinguir cuando la propagación excesiva de errores se debe a
que el algoritmo utilizado es “malo” o inestable o a que el problema en sí mismo está “mal
condicionado”. En el primer caso se puede (se debe!) tratar de mejorar el método de resolución
mientras que en el segundo caso el problema es más esencial. Los ejemplos que presentaremos
ilustrarán estos dos casos.
1. Punto flotante
En lo que sigue supondremos que los números de máquina son los que aparecen en la pantalla.
Esto no es exacto pues en realidad la computadora opera internamente con los números desarrollados
en base 2 y no en base 10. Este abuso de lenguaje es sólo para mayor claridad (el lector
podrá observar que todo nuestro análisis puede repetirse trabajando en base 2).
Observemos primero que un número real cualquiera, x ∈ IR, x > 0, puede escribirse como