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32 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO conocer la cantidad de operaciones efectuadas y comparar con las que se requieren al resolver el mismo sistema utilizando los comandos inv y \, que no están especialmente pensados para matrices tridiagonales.
1. EJERCICIOS 33 19. La n-ésima matriz de Hilbert Hn ∈ IRn×n , se define de la siguiente manera 1 (Hn)i,j = i + j − 1 . Estas matrices son un ejemplo de matrices mal condicionadas y por tal motivo se las utiliza habitualmente para testear rutinas numéricas. a) Demostrar que cond∞(Hn) ≥ n2 . b) Utilizar su programa del ejercicio 10 para calcular la inversa de la matriz de Hilbert H9. Verificar su resultado calculando los productos H9H −1 9 y H−1 9 H9. Comparar con el resultado obtenido mediante el comando inv. Nota: En realidad, cond∞(Hn) es mucho mayor que n2 . Estas matrices pueden obtenerse en Matlab mediante el comando hilb(n) y su condición infinito puede calcularse con el comando cond. 20. Considerar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b, con ⎛ ⎞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⎜ 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ A = ⎜ 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎟ . ⎟ ⎜ 7 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎝ 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ⎠ 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Utilizando el comando lu de Matlab, verificar que la eliminación gaussiana puede crear elementos no nulos en lugares donde inicialmente había ceros (es decir, se produce una matriz densa a pesar de partir de una matriz rala). En muchas aplicaciones, uno debe resolver un sistema de ecuaciones lineales del orden de 10 4 × 10 4 donde hay a lo sumo 5 elementos no nulos por fila. Es decir, hay a lo sumo 5 × 10 4 elementos no nulos en la matriz, cifra bastante inferior a la cantidad total de elementos. Calcular qué cantidad de bytes (2 bytes por elemento) ocuparía una matriz densa de esas dimensiones. Este tipo de situación motiva el estudio de métodos de resolución de sistemas con matrices ralas que no involucren un llenado excesivo. 21. Utilizar el Teorema de Cholesky para demostrar que las siguientes propiedades de una matriz son equivalentes: A es simétrica y definida positiva hay un conjunto de vectores linealmente independientes x 1 , x 2 , · · · , x n de IR n , tales que aij = (x i ) t x j . ⎛ 22. Considerar la matriz ⎝ 4 2 2 5 ⎞ −2 5 ⎠ . −2 5 11 Mostrar que es definida positiva y calcular su descomposición de Cholesky. 23. Estimar cuántas operaciones se requieren para hallar la descomposición de Cholesky de una matriz simétrica y definida positiva A ∈ IRn×n .
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