Apunte

54 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
−(L + D) −1 U = 1
⎛
⎝
4
0 −2 2
0 −2 6
0 2 −4
de donde p(λ) = λ3 + 5
4λ2 − 1
4λ y calculando las raíces de p(λ) obtenemos con aproximación los
autovalores λ1 = 0, λ2 = 0,1514 y λ3 = −1,6514 y por tanto
ρ(BGS) = |λ3| > 1
y entonces el método de Gauss-Seidel no converge.
Ejemplo 3.16. Caso IR2 En este caso es fácil analizar el método de Jacobi y el de Gauss-Seidel.
a11 a12
A =
entonces
y
Entonces,
Es decir,
BJ = −D −1 (L + U) =
a21 a22
⎞
⎠
0 − a12
a11
− a21
a22
BGS = −(D + L) −1 a12 0 − a11
U =
0
ρ(BJ) =
|a12a21|
|a11a22|
ρ(BGS) = |a12a21|
|a11a22| .
ρ(BGS) = ρ(BJ) 2 .
0
a12a21
a11a22
Como conclusión en IR 2 Jacobi converge si y sólo si Gauss-Seidel converge. Y si convergen (o
sea ρ < 1) es mejor asintóticamente Gauss-Seidel, pues en este caso ρ(BGS) < ρ(BJ).
Por ejemplo, si A es estrictamente diagonal dominante, entonces convergen los dos métodos. Y
esto en IR 2 es decir |a12| < |a11| y |a21| < |a22|.
Si A es simétrica y definida positiva entonces convergen ambos métodos en IR 2 , pues
entonces
.
a11 > 0 a12 = a21 det A = a11a22 − a 2 12 > 0
a 2 12
a11a22
a11a22 > a 2 12
= ρ(BGS) = ρ(BJ) 2 < 1.
El ejemplo anterior se generaliza para el método de Gauss-Seidel en IR N pero no para el método
de Jacobi.
Veamos ahora el último ejemplo de esta serie.