Apunte

Es decir
2. MÉTODOS ITERATIVOS 41
4x k+1
1
= 5 − xk2 4x k+1
2 = 5 − xk1 x k+1
=
0 1 − 4
0
x k + b
4 .
− 1
4
Entonces si empezamos con x0 = (0, 0), tenemos
x 0 ⎛
= ⎝ 0
⎞
⎠ → x
0
1 ⎛ ⎞
5
4
= ⎝ ⎠ → x 2 ⎛
= ⎝
Convergencia y estimación del error
En forma matricial la iteración de Jacobi se escribe como
Por otro lado la solución exacta, x, cumple que
entonces el error e k = x k − x verifica
y entonces, iterando esta última igualdad,
En nuestro ejemplo observamos que
y entonces
De esto concluimos que
5
4
x k+1 = Bx k + c.
x = Bx + c,
e k+1 = Be k
e k = B k e 0 .
B∞ = 1
4
15
16
15
16
B k ∞ ≤ B k ∞ ≤ ( 1
4 )k → 0 k → ∞.
e k ∞ ≤
k 1
e
4
0 ∞ → 0
es decir la iteración converge cualquiera sea el dato inicial x 0 .
⎞
⎠ → · · ·
Por supuesto, esto no es cierto en general. La convergencia depende de cómo sea la matriz B.
Si B < 1 para alguna norma asociada a una norma de vectores entonces el método convergerá
cualquiera sea la condición inicial y si no no.
En el caso general, A ∈ IRN×N supongamos aii = 0, ∀i (si A es inversible esto se puede obtener
reordenando). Despejamos xi de la i−ésima ecuación, para i = 1, . . . , N tenemos
bi − i−1 j=1 aijxk j − N j=i+1 aijxk
j
x k+1
i
=
aii