Apunte

f(x)
x 1
5. MÉTODO DE LA SECANTE 79
x 3
x 4
x 2
Figura 4.5.
Demostración. Como |g ′ (r)| < 1, existe una constante K < 1 y un ε > 0 tales que |g ′ (x)| < K,
∀x ∈ Iε = (r − ε, r + ε) (por la continuidad de g ′ ). Entonces, ∀x ∈ Iε,
x 0
y=x
|g(x) − r| = |g(x) − g(r)| ≤ K|x − r| ≤ Kε < ε
o sea, g(Iε) ⊂ Iε, y podemos aplicar el teorema anterior en Iε.
5. Método de la secante
En este método tenemos que xn+1 es función de xn y de xn−1. La idea es la misma que en
el método “regula falsi”, trazar la secante, pero este método es diferente pues se usan las dos
últimas aproximaciones xn−1 y xn en lugar de encerrar la raíz como en “regula falsi”. Para
empezar hay que dar dos valores x0 y x1.
La ecuación de la secante que une los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)) es
y = f(xn) + (x − xn) f(xn) − f(xn−1)
xn − xn−1
entonces se define xn+1 como la intersección de esta recta con el eje x, así, xn+1 verifica