Apunte

16 2. NORMAS Y CONDICIONAMIENTO
También se verifica fácilmente que
x2 ≤ x1
x∞ ≤ x1 ≤ nx∞
Más en general, decimos que una norma en IR n es una manera de asignar a cada x un número x
de tal forma que se verifiquen las siguientes propiedades, análogas a las que cumple la longitud
usual,
1) x ≥ 0 ∀x ∈ IR n
2) x = 0 si y sólo si x = 0.
3) λx = |λ|x ∀λ ∈ IR, ∀x ∈ IR n
4) x + y ≤ x + y ∀x ∈ IR n , ∀y ∈ IR n (desigualdad triangular)
Una vez que sabemos cómo medir vectores podemos hablar también de la distancia entre dos
vectores x e y la cual está dada por x − y. En particular, esto permite hablar de convergencia
de sucesiones: xn → x si x − xn → 0.
Tanto para medir el error como para analizar la convergencia de una sucesión elegiremos la
norma que nos resulte más conveniente en cada caso. Esto está justificado por el hecho de que
todas las normas son equivalentes: convergencia en una de ellas implica convergencia en cualquier
otra. Más aún, se tiene el siguiente resultado.
Teorema 2.1. Dadas dos normas en IR n , y ′ , existen constantes C1 y C2 que dependen
sólo de n y de las normas consideradas (en particular, son independientes de x) tales que
C1x ≤ x ′ ≤ C2x ∀x ∈ IR n
Demostración. Basta ver que una norma cualquiera es equivalente a la norma euclídea usual,
2. Sea {ei} la base canónica de IRn y definamos la constante C = ( n i=1 ei2 ) 1/2 , la cual
depende sólo de n y de . Utilizando las propiedades de la norma y la desigualdad de Schwartz
obtenemos
n
n
n
x = xiei ≤ |xi|ei ≤ ( |xi| 2 ) 1/2 n
( ei 2 ) 1/2 = Cx2
i=1
i=1
i=1
Queremos ver ahora que existe una constante K tal que
x2 ≤ Kx ∀x ∈ IR n
i=1
(2.1)
(2.2)