Apunte

2. MÉTODOS ITERATIVOS 57
Demostración. Los λ son autovalores de BGS y por lo anterior verifican que
det(λ(L + D) + U) = 0
pero λ(L + D) + U es tridiagonal y por el lema anterior
Si λ = 0 sea α tal que α2 = 1
λ . Entonces,
det(λD + αλL + α −1 U) = 0
0 = α −N det(λαD + L + U)
y como los autovalores de BJ no nulos son las raíces µ de det(µD + L + U) = 0 resulta que
Pero como α2 1
λ
se tiene que
µ = λα
µ 2 = λ.
Ahora observemos que en lo anterior, dado λ = 0 autovalor de BGS encontramos µ autovalor de
BJ con µ 2 = λ, pero en realidad es un si y sólo si. Es decir, dado µ autovalor de BJ, λ = µ 2
resulta ser un autovalor de BGS,
si y sólo si
si y sólo si (por el lema previo)
y tomando α = µ se tiene
Entonces µ 2 es autovalor de BGS.
det(µD + L + U) = 0
det(µ 2 D + µ(L + U)) = 0
det(µ 2 D + αµL + α −1 µU) = 0
det(µ 2 (D + L) + U)) = 0.
Convergencia del método de Gauss-Seidel para A ∈ IR N×N simétrica
Como los autovalores de A ∈ IR N×N pueden ser complejos, trabajaremos directamente con
A ∈ C N×N .
Recordemos algunas definiciones
Definición 3.20. Si A ∈ CN×N se define A∗ = AT o sea A∗ es la matriz que en el lugar i, j
tiene al elemento a∗ ij = aji.
Definición 3.21. A ∈ C N×N es Hermitiana si
A ∗ = A.