Apunte

186 8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Los métodos de integración también nos proporcionan ejemplos de métodos multipaso. Por
ejemplo, partimos del cálculo de la integral
x(tn+2) − x(tn) =
tn+2
tn
x ′ (s) ds,
y aproximamos el valor de la integral por la regla de Simpson, obteniendo
x(tn+2) − x(tn) ∼ h
3 (x′ (tn) + 4x ′ (tn+1) + x ′ (tn+2)).
Como estamos resolviendo la ecuación x ′ (t) = f(t, x(t)) podemos proponer el siguiente método
xn+2 − xn = h
3 (f(tn, xn) + 4f(tn+1, xn+1) + f(tn+2, xn+2))
que es un método de dos pasos.
En adelante, pondremos fn por f(tn, xn). Con esta notación, los métodos multipaso de k pasos
admiten la escritura
k
αjxn+j = h
j=0
k
βjfn+j, (8.22)
donde h es la distancia entre dos nodos, αj y βj son coeficientes conocidos y αk = 0.
Si βk = 0, el término βkfn+k aparece en la suma de la derecha con lo cuál el valor a calcular
xn+k aparece involucrado en la ecuación en la evaluación de f. Por este motivo se dice que el
método es implícito.
Cuando βk = 0 el valor a encontrar xn+k se puede despejar de datos ya conocidos y el método
se dice explícito.
Con los ejemplos vistos hasta ahora tenemos que,
xn+2 − xn = h
3 (fn + 4fn+1 + fn+2) (8.23)
es un método implícito, que se conoce como el método de Milne, mientras que el que resulta de
aproximar la derivada
es un método de dos pasos explícito.
j=0
xn+2 = xn + 2hfn+1
Si usamos una fórmula de cuadratura basada en interpolación de Lagange para aproximar la
integral
tn+k
tn+k−1
x ′ (s) ds,