Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

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84 7.1. Comparando os resultados Figura 7.1: Expoente de Lyapunov em função da densidade calculado com o Método Estocástico (Teoria) e com o Método de Benettin (Simulação). O Método Estocástico apresenta um bom acordo para baixas densidades com a lei λTeoria = 17.2 ρ 1/3 0 . As simulações com o Método de Benettin, por sua vez, fornecem uma relação λSimulação = 5.4 ρ 1/3 0 para um intervalo maior de densidades. A figura de baixo mostra os mesmo resultados em escala log-log para melhor visualizarmos a relação λTeoria = 3.2 λSimulação entre as duas curvas.
7. Conclusões e discussões 85 7.2 Analisando os resultados Nesta seção levantaremos algumas questões que podem estar relacionadas com a diferença entre os resultados esperados e aqueles obtidos com o Método Estocástico. Avaliaremos as aproximações empregadas na construção da teoria e alguns pontos que julgamos pertinentes discutir. 7.2.1 Confiabilidade nos valores dos parâmetros O Método Estocástico relaciona o expoente de Lyapunov máximo com os parâmetros µ , σ 2 λ e τ (k) c . Podemos questionar qual o grau de confiabilidade dos resultados obtidos para estes parâmetros no capítulo anterior. Com exceção dos tempos τ (k) c , obtivemos valores para µ e σ 2 λ por dois caminhos distintos: cálculos analíticos no ensemble canônico e através de simulações com Dinâmica Molecular no ensemble microcanônico. Como observamos nas figuras 6.1 e 6.3, e nas tabelas 6.1 e 6.2, o acordo entre as simulações e os cálculos analíticos é muito bom para as densidades mais baixas, indicando que os resultados para µ e σ 2 λ são confiáveis. Conforme a densidade aumenta, o acordo diminui, permanecendo bom até densidades próximas à ρ 0 = 0.30. Esta diferença ocorre, como discutimos, em virtude do emprego da aproximação para baixas densidades da função de distribuição radial nos cálculos analíticos, a qual, como mostram os gráficos da figura 5.11, trata-se de uma aproximação adequada para as densidades baixas que analisamos porém não tão apropriada para as mais altas. Observemos também que o acordo obtido para µ e σ 2 λ nas densidades mais baixas analisadas, onde os erros cometidos ao introduzirmos a aproximação analítica para g2 (r) são menores, apóiam a comparação que realizamos entre médias simulacionais no ensemble NV E e médias analíticas no ensemble NV T, indicando que N = 108, juntamente com as demais técnicas empregadas nas simulações, é um número adequado para utilizarmos a equivalência entre os ensembles no cálculo dos parâmetros do nosso sistema. Se desejarmos resultados precisos para densidades maiores, deveremos lançar mão, no que diz respeito aos cálculos analíticos, de aproximações para a função de distribuição radial (e para a apro- ximação de Kirkwood) válidas neste regime, ou trabalharmos unicamente com resultados numéricos. Entretanto, estabelecer a validade da equivalência entre os ensembles e determinar até qual valor de densidade é seguro empregar a aproximação de g2 (r), nos permite obter a dependência entre os parâmetros µ e σ 2 λ como função de ρ0 . Por outro lado, determinar uma dependência análoga para o caso do expoente de Lyapunov depende do conhecimento de uma forma analítica explícita para τ (1) c , da qual não dispomos. Para estimarmos a relação λ ∝ ρ 1/3 0 obtida no final do capítulo 6, desprezamos a dependência de τ (1) c com ρ0 , resultado que é fortemente corroborado pelas simulações: mesmo uma variação na densidade por um fator de 50 não alterou sensivelmente o perfil de fc (τ), como observamos na figura 6.7. Esta independência com a densidade por parte de fc (τ) e, por conseguinte, dos tempos τ (k) c pode ser interpretada através de argumentos simples. A função de correlação de nosso interesse depende exclusivamente das posições, conforme
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