Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

12 2.3. Método de Benettin
Figura 2.3: Ilustração da normalização periódica realizada sobre os vetores tangentes no decorrer
da simulação (adaptado de [10]).
referência x (t) e a trajetória perturbada y (t) usando-se as equações de movimento que,
para o nosso caso, são as equações de Hamilton (2.2). A partir destas duas trajetórias,
calcula-se a separação ξ = x − y para instantes de tempo discretos, obtendo-se assim a
seqüência de vetores {ξ (δt) , ξ (2δt) , . . . , ξ (m δt) , . . .} que pode ser usada para estimar
o limite mostrado a seguir:
lim
m → ∞
1
m δt
ln ξ (m δt)
ξ (0)
(2.12)
A seqüência de números obtida calculando-se a norma dos vetores tangentes nos instan-
tes m δt aproxima-se assintoticamente de um valor constante conforme m cresce e é neste
sentido que o limite na equação anterior deve ser entendido, uma vez que o limite m → ∞
é inacessível computacionalmente. Em um gráfico de λ contra m δt , o valor assintótico
é estimado quando a curva torna-se aproximadamente horizontal, quando isso ocorre, a si-
mulação é interrompida. O expoente de Lyapunov máximo é calculado realizando-se diversas
simulações com condições iniciais ξ (0) aleatoriamente escolhidas e depois efetuando-se uma
média sobre todos os valores assintóticos obtidos:
1
λ =
massδt ln ξ (mass
δt)
ξ (0)
(2.13)
onde mass indica o valor de m para o qual a norma do vetor tangente, e portanto λ, pára
de crescer, isto é, mass é uma estimativa para o valor limite m → ∞ .
Existe uma dificuldade na aplicação da equação (2.12) que ocorre devido à divergência
exponencial das trajetórias com o tempo, algumas vezes resultando em overflows numéricos
e que torna a aproximação linear para a evolução do vetor ξ (t) inadequada antes do li-
mite aproximar-se de um valor assintótico. A fim de acompanhar a evolução da norma