Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

3. Método Estocástico 33
Agora, substituindo
Y3N
2
de acordo com (3.42), vem:
V 2 =
1
3N Tr V 2 N
N − 1 13N −
N
(N − 1) 2
Y3N
(3.46)
A equação (3.46) é o resultado para o produto das médias; nos falta avaliar a média do
produto das hessianas em dois instantes distintos: V (t)V (t − τ) . Semelhante ao resultado
obtido para
Vqiqj , a propriedade de isotropia rotacional do nosso sistema torna a média
do produto entre as matrizes menores também proporcional à identidade, ou seja:
V (t)V(t − τ)
qiqj =
N
Vqiqk (t)Vqkqj(t − τ) =
k =1
N
k =1
1
3 Tr Vqiqk (t)Vqkqj(t − τ) 13
Não entraremos nos detalhes aqui (ver argumentação no apêndice C). Desta forma, esta
última equação juntamente com a equivalência estatística entre os pares de partículas fornece:
V (t)V (t − τ) qiqj =
⎧
Vqiqi(t)Vqiqi(t
⎪⎨
⎪⎩
′ ) N
+ Vqiqk
k = i
(t)Vqkqi(t ′ )
i = j
Vqiqi(t)Vqiqj(t ′ ) + Vqiqj(t)Vqjqj(t ′ ) N
+ Vqiqk (t)Vqkqj(t ′ ) i = j
=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
k = i
k = j
1
3 Tr
Vq1q1(t)Vq1q1(t ′ ) + (N − 1) Vq1q2(t)Vq2q1(t ′ )
13 i = j
1
3 Tr
2 Vq1q1(t)Vq1q2(t ′ ) + (N − 2) Vq1q2(t)Vq2q3(t ′ )
13 i = j
O análogo da equação (3.45) para a média do produto das hessianas então se escreve:
′ 1
V (t)V(t ) =
3 Tr
Vq1q1(t)Vq1q1(t ′ ) + (N − 1) Vq1q2(t)Vq2q1(t ′ )
13N +
+ 1
3 Tr
2 Vq1q1(t)Vq1q2(t ′ ) + (N − 2) Vq1q2(t)Vq2q3(t ′ )
Y3N
(3.47)
A equação (3.47) acima juntamente com as equações (3.45) e (3.46) são os três resultados
mais importantes no momento. Independentemente da complexidade envolvida no cálculo
dos objetos presentes nestas equações, vamos escrevê-las, por enquanto, simplesmente como:
V = α1 13N + β1 Y3N e
δV(t)δV (t − τ) = α2 13N + β2 Y3N
(3.48)
Faremos isso para realçar a dependência com as matrizes 13N e Y3N , que nos será útil na
próxima seção.