Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

2. Expoente de Lyapunov 13
do vetor tangente por um período maior, realiza-se uma normalização periódica conver-
tendo ξ (m δt) ao valor fixo inicial ξ (0) (ver Fig. 2.3). Desta forma, substitui-se a
equação (2.12) como estimativa para o valor assintótico do expoente de Lyapunov máximo
pelo limite a seguir:
lim
m → ∞
1
m δt
m
k =1
ln
ξ (k δt + δt)
ξ (k δt)
(2.14)
A figura 2.4 apresenta diversas realizações da equação anterior, cada uma com condição
inicial ξ (0) aleatoriamente escolhida, para dois valores de densidade numérica ρ 0 .
Figura 2.4: Expoente de Lyapunov máximo como função do tempo calculado através do método
de Benettin para um sistema interagindo com um potencial do tipo Lennard-Jones.
Os gráficos apresentam diversas realizações da equação (2.14) (sem o limite) para
dois valores de densidade numérica. Cada símbolo representa uma condição inicial
distinta aleatoriamente escolhida. A curva horizontal é o valor médio calculado com
a estimativa para o valor assintótico obtido em cada realização. Dados cedidos por
C. Anteneodo.
2.4 Médias temperada e recozida
No próximo capítulo discutiremos o Método Estocástico, que é uma teoria analítica capaz de
obter o expoente de Lyapunov máximo para um sistema hamiltoniano com muitos graus de
liberdade. Os resultados obtidos com a teoria serão comparados com os valores numéricos
resultantes do Método de Bennetin que acabamos de analisar. No Método Estocástico, com
a finalidade de contornarmos dificuldades técnicas importantes, inverteremos a ordem entre
a operação de média e o cálculo do logaritmo na equação (2.13), definindo:
λ ⋆ =
1
massδt ln
ξ (mass δt)
ξ (0)
(2.15)
Os gráficos das figuras 2.4 e 2.5 estão em unidades reduzidas apropriadas para um sistema interagindo
com um potencial do tipo Lennard–Jones. Ver detalhes mais adiante no capítulo 5 e particularmente no
apêndice E.