Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

1. Introdução 3
um sistema integrável manifestará comportamento caótico (ver mais detalhes no livro de
Lichtenberg & Liberman [10] e em Hénon [11]).
1.2 Teorias recentes
Uma proposta teórica que se distanciou em parte do espírito presente nas idéias de Krylov é a
teoria geométrica apresentada por Casetti, Pettini e colaboradores na década de 1990. Nela,
a dinâmica é geometrizada, associando, através de uma métrica apropriada, as trajetórias do
sistema dinâmico com geodésicas em uma variedade curva (ver revisão em [7,12]). Quando
aplicado à cadeia FPU, o Método Geométrico obteve sucesso ao reproduzir o expoente de
Lyapunov máximo sobre todo o intervalo de energia de interesse. Contudo, para outros
sistemas o bom resultado não se repetiu [13], levantando questões sobre o limite de validade
da teoria e sobre algumas hipóteses heurísticas adotadas [1]. O Método Geométrico foi
utilizado por muitos pesquisadores e resultou em inúmeros trabalhos. Sua proposta de
entender a origem do comportamento caótico de sistemas hamiltonianos geometrizando a
dinâmica é, sem dúvida, bastante ambiciosa e, neste sentido, trata-se de uma teoria ab
initio. Porém, as premissas adotadas a fim de obter resultados quantitativos retiram o
caráter de primeiros princípios da teoria que, como assinalado pelos próprios autores em [7],
não pode ser considerada sob nenhuma perspectiva uma teoria fechada. No que concerne
especificamente ao presente trabalho, é oportuno comentarmos que o método geométrico foi
testado com uma interação de Lennard–Jones em [14] sob condições físicas distintas das aqui
utilizadas. Neste trabalho, que não possui o cálculo do expoente como único objetivo, os
autores apresentam o expoente de Lyapunov máximo teórico como função da energia mas
não realizam comparação com resultados numéricos.
Outra abordagem, apresentada poucos anos depois, foi a desenvolvida por Barnett em sua
tese de PHD [15] e que teve continuidade com Barnett, Tajima e colaboradores em [16,17].
Todavia, seus resultados obtiveram contundente objeção [18,19]. A teoria desenvolvida por
Barnett compartilha as mesmas bases empregadas na construção do Método Estocástico.
Ambas as teorias são de caráter perturbativo bem definido, cujas correções, em princípio,
podem ser avaliadas precisamente. Como resultado final, a teoria de Barnett relaciona o
expoente de Lyapunov máximo com os autovalores de uma matriz 4 × 4 cujos elementos
envolvem médias sobre a matriz hessiana de interação; o Método Estocástico, por sua vez, o
relaciona com os autovalores de uma matriz 3×3 cujos elementos também envolvem médias
sobre a hessiana. Os trabalhos de Barnett e colaboradores transparecem um interesse maior
em uma possível conexão entre o expoente de Lyapunov máximo e o coeficiente de autodifusão
do que com o estudo do expoente em si. Esta abordagem juntamente com a não continuidade
de seus trabalhos, a utilização de uma notação pouco clara em alguns pontos e uma diferença
na forma de se realizar a média não nos possibilitou estabelecer uma equivalência plena entre
as duas teorias.
Como elemento comum ao Método Geométrico de Casetti & Pettini, à teoria de Barnett
e ao Método Estocástico existe a expansão em cumulantes de van Kampen. Sob este prisma,