Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

26 3.5. Simetrias do potencial
3.5 Simetrias do potencial
Até este ponto, nenhuma suposição sobre a forma do potencial foi assumida. Sabemos
apenas que U descreve a interação entre N partículas idênticas e sem estrutura. Existem,
no entanto, simetrias que podemos explorar. Iniciaremos assumindo que U (r1, . . .,rN) seja
invariante sobre permutação de seus argumentos. Vamos assumir também invariância por
translação:
U (r1 + a, . . .,rN + a) = U (r1, . . . ,rN) (3.30)
onde a é um vetor constante arbitrário. Um sistema isolado, isto é, onde não atuam forças
externas, interagindo com um potencial invariante por translação, conserva o momento linear
total (ver Lemos [32] ). Uma conseqüência da invariância translacional sobre as matrizes
menores Vqiqj advém ao notarmos que, tendo U a propriedade mostrada em (3.30), podemos
escrever:
N
j =1
∂ U
∂ rj
acarretando:
N
j =1
∂ 2 U
∂ ri ∂ rj
= −→ 0
=
N
j =1
Vqiqj = O (3.31)
que será um resultado bastante utilizado mais à frente.
Sob argumentos bastante gerais (ver [31] e [33] ), podemos escrever univocamente U
como a soma de potenciais de s corpos:
U (r1, . . .,rN) = Φ (1) +
N−1
i= 1 j > i
N
Φ (2) (ri,rj) +
N
k > j > i
Φ (3) (ri,rj,rk) + · · · (3.32)
sendo os potenciais Φ (s) , s = 1, 2, . . . , N, também invariantes por translação e por per-
mutações de seus argumentos. Devido à invariância por translação, Φ (1) é uma constante,
que pode ser tomada como zero reescalando-se o valor mínimo de U, e o potencial de dois
corpos Φ (2) (ra,rb), ou potencial de pares, depende apenas de ra−rb . Assumiremos também
simetria por rotações. Seja R uma rotação euclidiana, se:
Φ (s) (Rr1, . . . , Rrs) = Φ (s) (r1, . . .,rs)
dizemos que Φ (s) é invariante por rotações. Neste caso, Φ (2) é esfericamente simétrico, isto
Em virtude da simetria translacional, Φ (s) depende de s − 1 variáveis. Ver apêndice D onde esta
propriedade também é tratada.