Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

3. Método Estocástico 29
da matriz r ab r T ab . No ensemble canônico , podemos escrever:
f (rab)rab r T
ab
11
=
f (rab)x 2
ab
∝
f (rab) x 2 ab f2q (ra,rb) d 3 ra d 3 rb
sendo f2q (ra,rb) = f2q (rab) (fluido simples) a parte configuracional da função de distribuição
reduzida de duas partículas. Vamos nos ater no termo mais à direita da equação anterior.
Ao realizarmos a mudança das variáveis de integração de ra e rb para as coordenadas
relativas rab = ra − rb e de centro de massa Rab = (ra + rb)/2, e tendo em vista que o
módulo do jacobiano desta transformação é igual a um, obtemos:
f (rab)rab r T
ab
11
=
f (rab)x 2
ab
∝
f (rab) x 2 ab f2q (rab) d 3 rab d 3 Rab
Escrevendo xab = rab cosϕ senθ e d 3 rab = r 2 ab senθ dθ dϕdrab , onde θ e ϕ são as coorde-
nadas esféricas usuais, a equação anterior fica:
f (rab) x 2
ab
∝
d 3 Rab drab f (rab) r 4 ab f2q (rab)
= 4π
3
2π π
dϕ
d 3 Rab drab f (rab) r 4 ab f2q (rab) ∝
0
0
dθ cos 2 ϕ sen 3 θ =
f (rab)r 2
ab
Procedendo da mesma maneira com os outros elementos da diagonal, veremos que eles são
iguais, ou seja:
f (rab) x 2
ab
=
f (rab)y 2
ab
=
f (rab)z 2
ab
= 1
f (rab)r
3
2
ab
Este resultado está em consonância com as condições físicas do problema uma vez que esta-
mos lidando com um sistema que possui isotropia rotacional, não havendo, portanto, direção
privilegiada no cálculo das médias ‡ . Argumentos de simetria análogos são empregados, por
exemplo, na derivação das propriedades da distribuição de velocidades de Maxwell (ver
Reif [35], entre outros).
Vamos avaliar agora as médias envolvendo os elementos de fora da diagonal da ma-
triz rab rT ab . Como antecipado através da equação (3.37), essas médias são nulas. Para
enxergarmos melhor este resultado, consideremos o elemento (1, 2):
f (rab)rab r T
ab
12
=
f (rab)xab yab
∝
f (rab) xab yab f2q (rab) d 3 rab d 3 Rab
Procedendo como antes, podemos escrever: xab = rab cosϕ senθ e yab = rab senϕ senθ . Ao
fazermos isso, notaremos que a parte angular da integral se anula. O mesmo ocorrendo com
Por motivos técnicos e baseado na equivalência entre os ensembles no limite termodinâmico, nossos
cálculos analíticos serão realizados no ensemble canônico. Ver seção 6.2.
‡ Estamos desprezando efeitos de superfície.