Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

116 D.2. Sistemas espacialmente homogêneos
Eq. (D.3)), temos:
d 3 x1 f1 (x1) = ρ 0
d 3 r1 d 3 p1 f1p (p1) = N
Exigindo que f1p (p1) seja normalizado, d 3 p1f1p (p1) = 1, notamos que ρ 0 é a densidade
numérica, isto é, ρ 0 = N/V , que é constante para um fluido homogêneo. Podemos escrever
então:
f1 (x1) = f1 (r1,p1) = ρ 0 f1p (p1) (D.9)
sendo f1p (p1) a função distribuição do momento † (ou momentum).
Um exemplo de modelo que exibe a propriedade de homogeneidade espacial é o gás ideal,
cuja hamiltoniana, por definição, é puramente cinético:
H(x1, . . .,xN) = H (r1,p1, . . . ,rN,pN) = 1
2m
N
i=1
p 2 i
(D.10)
Para enxergarmos esta característica, vamos escrever, no ensemble canônico, a função de
distribuição clássica para a hamiltoniana completa:
F (x1, . . .,xN) =
=
−β H(x1,...,xN) e
d 3 x1 . . .d 3 −β H(x1,...,xN)
xN e
e−β PN i=1 p 2 i /2m −β U(r1,...,rN) e
d 3 p1 . . .d 3 pN e −β P N
i=1 p 2 i /2m
= Fq (r1, . . .,rN) Fp (p1, . . .,pN)
d 3 r1 . . .d 3 −β U(r1,...,rN)
rN e
(D.11)
onde na última passagem separamos F como o produto entre sua parte configuracional, Fq,
e a parte dependente dos momentos, Fp. Portanto, a função de distribuição reduzida de uma
partícula para a hamiltoniana mostrada em (D.10) é:
f1 (x1) = N
= N
d 3 x2 . . . d 3 xN F (x1, . . .,xN) =
V N−1
V N
e −β p 2 1 /2m
d 3 p1 e −β p 2 1 /2m
= ρ 0 f1p (p1)
em acordo com a equação (D.9). Continuando com o exemplo do gás ideal e seguindo o
mesmo procedimento, obtemos para a função de distribuição reduzida de duas partículas o
† No equilíbrio, f1p (p) é a distribuição de Maxwell: f1p (p) = (2πmκBT) −3/2 e
−p 2
2mκBT .