Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

86 7.2. Analisando os resultados
seção 6.5. No regime onde a interação entre partículas é predominantemente através de co-
lisões binárias, como é o nosso caso e como encontrá-se evidenciado na figura 6.2, esperamos
que a correlação entre posições seja uma função da velocidade das partículas. A velocidade,
por sua vez, na média, só depende da temperatura. Desta forma, mantendo a temperatura
fixa ou aproximadamente fixa, como foram as condições de nossas simulações, é esperado
que fc (τ) não dependa da densidade, como de fato ocorreu.
Uma questão pertinente a ser levantada diz respeito à qualidade do ajuste gaussiano. Até
que ponto o ajuste gaussiano da função de correlação afetou os resultados? Podemos respon-
der esta pergunta quantitativamente propondo um ajuste mais adequado. Como exemplo,
faremos um novo ajuste para os dois extremos de densidades analisados, o extremo inferior
onde ρ 0 = 0.01, e o superior onde ρ 0 = 0.50, porém, agora, utilizando uma função com dois
parâmetros livres, a e b, de acordo com a equação a seguir:
b
fc (τ) = e−aτ (7.1)
Ao realizarmos um ajuste que respeite a equação (7.1), perdemos as formas analíticas para os
tempos τ (k)
c como mostradas em (6.14) e que são válidas apenas para uma forma funcional
gaussiana. Contudo, podemos obter numericamente os valores das integrais que fornecem
os tempos τ (k)
c
sem grandes dificuldades. Na figura 7.2 encontrá-se este novo ajuste para
os dois extremos de densidade. Como podemos observar, a forma funcional (7.1) é capaz de
reproduzir mais adequadamente o perfil de fc (τ), entretanto, lembremos que os parâmetros
que entram no cálculo do expoente de Lyapunov são os tempos τ (k)
c , sendo o mais importante
o tempo τ (1)
c e este, como mostrado na tabela 7.1, assume valores muito próximos em ambos
os ajustes.
Tabela 7.1: Tempo característico τ (1)
c obtido através de dois ajustes distintos da função de
correlação fc (τ) para duas densidades. O ajuste gaussiano é realizado em função
apenas de um parâmetro livre: στ. O ajuste não gaussiano, realizado em função
dos parâmetros a e b, resulta em um ajuste mais adequado, contudo, o valor para o
tempo τ (1)
c que, em última análise, determina o expoente de Lyapunov, permanece
praticamente inalterado.
Ajuste gaussiano: fc (τ) = e −τ 2 /2σ 2 τ Ajuste não gaussiano: fc (τ) = e −aτb
ρ0 στ τ (1)
c a b τ (1)
c
0.01 4.69×10 −2 5.88×10 −2 1.22×10 2 1.77 5.90×10 −2
0.50 4.13×10 −2 5.18×10 −2 0.87×10 2 1.57 5.26×10 −2
Mesmo descartando a qualidade do ajuste como origem da diferença observada, podemos
continuar questionando, uma vez que não dispomos de uma estimativa analítica, a confia-
bilidade dos valores para os tempos τ (k)
c
obtidos da simulação. Aceitando como confiável
o resultado para σ 2
λ , podemos avaliar qual o valor de um possível erro sobre τ(1)
c que nos
levaria a um melhor acordo entre teoria e simulação para λ. Uma diferença por um fator