Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

118 D.3. Aproximação para baixas densidades de g2 (r)
Trocando as variáveis de integração de r1 e r2 para as coordenadas relativas e de centro de
massa, e usando (D.12), obtemos:
µ = 4π ρ 0
3
rc
dr r 2
que é a equação (6.3) da seção 6.3.
0
f (r) r 2
+ 3h(r) g2 (r)
D.3 Aproximação para baixas densidades de g2 (r)
Em nossos cálculos analíticos do capítulo 6, utilizamos a aproximação para baixas densidades
da função de distribuição radial:
g2 (r) ≈ e−β Φ(r)
(D.13)
que é independente de ρ 0 . Podemos obter uma intuição física para esta aproximação. Para
um potencial de pares esfericamente simétrico, a pressão é relacionada com g2 (r) de acordo
com a equação a seguir:
P
κBT = ρ 2π
0 −
3κBT ρ2
0
∞
0
dr r
3 dΦ(r)
dr
g2 (r) (D.14)
Notemos que para Φ(r) = 0, recuperamos a equação de estado para o gás ideal. Agora
vamos escrever a expansão do virial:
P
κBT = ρ0 +B(T) ρ2
0 +C(T) ρ3
0 + · · · (D.15)
O segundo virial, B (T), é dado por:
B(T) = 2π
∞
0
dr r 2
1 − e −βΦ(r)
= − 2π
3κBT
∞
0
dr r
3 dΦ(r)
dr
e −βΦ(r)
onde na última passagem realizamos uma integração por partes. Agora vamos supor uma
expansão de g2 (r) em potenciais da densidade:
g2 (r) = g (0)
2 (r) + ρ 0 g (1)
2 (r) + ρ 2
0 g(2)
2 (r) + · · · (D.16)
Substituindo este último resultado em (D.14) e depois comparando as mesmas potências
de ρ 0 com a expansão do virial (D.15), obtemos para g (0)
2 (r) :
g (0)
2 (r) = lim
ρ0 →0 g2 (r) = e−β Φ(r)
Desta forma, a aproximação (D.13) corresponde ao limite ρ 0 → 0 na expansão (D.16) que
está relacionada a desprezarmos todas as correções além do segundo virial em (D.15). Ver
figura D.1 com os gráficos da aproximação para baixas densidades da função de distribuição