Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

38 3.9. Aproximação isotrópica
sendo fc (τ) a função de (auto)correlação normalizada:
fc (τ) =
1
3Nσ 2
λ
Tr δV(0) δV (τ)
(3.61)
Vemos então que, na aproximação isotrópica, o expoente de Lyapunov máximo está associado
aos quatro parâmetros: µ e σ 2
λ τ(k) c , k = 1, 2, 3. Os parâmetros µ e σ 2
λ
mente, a média e variância do processo estocástico V (t). O tempo característico τ (1)
c
são, respectiva-
interpretado como o tempo de correlação de V (t), sendo fc (τ) a função de correlação
relevante. Notemos que a normalização de fc (τ) é tal que:
fc (0) =
1
3Nσ 2
λ
Tr δV (0) δV (0) = 1
Para obtermos os autovalores da matriz Λ 3×3 mostrada em (3.58), podemos calcular seu
polinômio característico da maneira usual através da equação secular:
Det
Λ 3×3 − L13 = 0
O resultado desta última equação é:
L 3 + a2 L 2 + a1 L + a0 = 0 , onde:
⎧
a0 = − 4σ
⎪⎨
2
λ
a1 = − 4σ 2
λ
⎪⎩
a2 = 4σ 2
λ
τ (1)
c
τ (2)
c
τ (3)
c
+
+
µ − 2σ 2
λ
2σ 2
λ
τ (3)
c
(2)
τ c
2
+ 4µ
é
4σ 2 (3)
λ τ c
(3.62)
Dos três autovalores que resultam da solução do polinômio de terceiro grau para L, um é real
e dois são complexos conjugados entre si (Λ3×3 é uma matriz real). Seja LMáx. o autovalor
que possui a maior parte real; o expoente de Lyapunov máximo será a metade da parte real
de LMáx. :
λ = 1
2 Re
LMáx.
No capítulo 6 calcularemos os parâmetros µ, σ 2
λ
(3.63)
e τ(k)
c . Como veremos, para densidades
baixas o suficiente, o termo envolvendo o produto σ 2
λ τ(1) c na matriz (3.58) será predominante
em valor absoluto frente aos termos envolvendo σ 2
λ τ(2) c , σ 2
λ τ(3) c e µ. Mantendo apenas este
termo na equação (3.62) e depois usando (3.63), obtemos uma aproximação para o expoente
de Lyapunov alternativa à solução do polinômio característico completo:
λ ≈
σ 2
λ τ(1)
1/3 c
2
(3.64)