Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

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102 A.3. Equivalência entre os autovalores das matrizes Λ3×3 e Λ6×6 que era o resultado que faltava para terminarmos de compor o superoperador Λ na base β completa: Λ6×6 = ⎛ ⎝ ΛII Λ IY Λ YI Λ YY ⎞ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ Λ II Λ II 0 − Λ II N − 1 Λ II Λ II 0 − Λ II 0 − ΛII ⎞ 0 − Λ II ⎟ ⎠ (A.18) N − 1 A.3 Equivalência entre os autovalores das matrizes Λ3×3 e Λ 6×6 Aqui demonstraremos a afirmativa feita na seção 3.9 de que os autovalores diferentes de zero da matriz Λ6×6 , descontando-se correções da ordem de N −1 , são os mesmo da matriz Λ3×3 . Iniciaremos escrevendo a equação secular para Λ6×6 : Det Λ6×6 − L16 ⎛ Λ ⎜ = Det ⎝ II − L13 Λ II 0 − Λ II N − 1 Λ II 0 − ΛII Λ II 0 − Λ II 0 − Λ II N − 1 − L13 ⎞ ⎟ ⎠ = 0 (A.19) Façamos a seguinte transformação, que não altera o valor do determinante, nas linhas 4, 5 e 6 da equação anterior: linha4,5, 6 −→ linha4,5, 6 + Esta transformação resulta: 1 N − 1 linha1,2, 3 ⎛ Λ ⎜ Det ⎝ II − L13 Λ II 0 − Λ II Λ II 0 − L13 Λ N − 1 II ⎞ ⎟ ⎠ = 0 0 − L13 Agora, uma transformação semelhante nas colunas 1, 2 e 3: coluna1,2,3 −→ coluna1,2, 3 − 1 N − 1 coluna4, 5,6 Acarretando: ⎛ ⎜ Det ⎝ ΛII − L13 − ΛII 0 − ΛII Λ N − 1 II 0 − Λ II O Λ II ⎞ ⎟ ⎠ = 0 0 − L13 Desta forma, o determinante da equação (A.19) se escreve: Det N N − 1 ΛII − 1 N − 1 ΛII 0 − L13 Det Λ II 0 − L13 = 0
A. Cálculos envolvendo Λ 103 Este último resultado nos mostra os três autovalores iguais a zero (ver Λ II 0 sendo os outros três obtidos de: Det N N − 1 ΛII − 1 N − 1 ΛII 0 − L13 ≈ Det Λ II − L13 = 0 na Eq. (A.14)), onde ≈ significa que, relativamente, termos da ordem de N −1 foram descartados acarretando a equivalência entre os autovalores de Λ 6×6 e Λ3×3 = Λ II .
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