Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

10 2.2. Expoente de Lyapunov máximo
apenas um dentre os 2n valores:
λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λ2n
(2.11)
O conjunto {λi} é chamado de espectro de Lyapunov, estando cada λi associado a uma
das 2n direções do espaço tangente. O espaço tangente, por sua vez, admite uma decom-
posição em subespaços lineares:
Tx(0) M = E1 ⊕ E2 ⊕ · · · ⊕ E2n
de tal forma que um vetor inicial ξ 0 pertencente a Ei crescerá exponencialmente com o
expoente λi (ou se contrairá, caso λi < 0).
Os expoentes de Lyapunov não são uma exclusividade de sistemas hamiltonianos, podem
ser definidos para sistemas dinâmicos genéricos e para mapas. Contudo, existem propriedades
importantes no espectro de Lyapunov que são particulares de sistemas hamiltonianos. Como
exemplo, temos a simetria: λi = −λ2n−i+1, que resulta da estrutura simplética das equações
de Hamilton (2.2). A soma sobre todo o espectro está relacionada com a taxa de expansão
do volume do espaço de fases. Sendo δV (t) este volume, pode-se mostrar que:
δV (t) = δV (0) exp
t
2n
λi
i =1
como sistemas hamiltonianos são conservativos, no sentido de Liouville, o volume é preser-
vado durante a evolução: δV (t) = δV (0), acarretando λi = 0 (ver mais detalhes no livro
de Lichtenberg & Liberman [10] ).
2.2 Expoente de Lyapunov máximo
O expoente de Lyapunov definido através do limite (2.10) pode ser calculado analiticamente
para alguns casos , porém, na maioria das vezes, é obtido através de métodos numéricos,
como será discutido na próxima seção. Embora o limite pelo qual λ é definido possa convergir
para qualquer um dos 2n valores do espectro, na prática, a evolução da norma do vetor
tangente para tempos longos é sensível apenas ao maior dentre os expoentes, isto é, λ1. Isso
ocorre pois uma condição inicial genérica ξ (0) terá uma componente diferente de zero no
subespaço E1, que divergirá com o expoente λ1, dominando assintoticamente o crescimento
de ξ (t):
ξ (t) = e λ1t
ξ1(0) 1 + ξ 2 2
ξ 2 1
e 2(λ2−λ1) t + · · · + ξ 2 2n
ξ 2 1
e2(λ2n−λ1) 1/2 t
∼ e λ1t ξ1(0)
Em outras palavras, escolhendo-se ξ (0) aleatoriamente, teremos λ = λ1 com probabilidade
um. Desta forma, o limite (2.10) define o expoente de Lyapunov máximo que usaremos
Ver, por exemplo, o cálculo para o mapa triangular no livro de Ferrara & C. do Prado [25], pág. 147.