Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

6. Dinâmica Molecular: Aplicação 75
6.5 Resultados para fc (τ)
Nesta seção trataremos da função de correlação, que é uma grandeza dinâmica, característica
que a distingue dos parâmetros µ e σ 2
λ . Iniciaremos olhando novamente a definição fc (τ)
apresentada na equação (3.61):
fc (τ) =
1
3Nσ 2
λ
Tr δV(0) δV (τ)
Substituindo a definição de δV, obtemos:
fc (τ) =
1
3Nσ 2
λ
Tr V (0)V(τ) −
1
3Nσ 2
λ
Tr V (0) V (τ)
(6.12)
(6.13)
O termo mais à direita desta última expressão é independente de τ. Ele está relacionado
com a Parte 2 de σ 2
λ
(ver Eq. (6.4)) e já foi calculado na seção anterior. Desta forma, vamos
nos ater apenas ao termo da esquerda o qual, a menos do pré-fator, pode ser escrito como:
Tr V(0)V(τ) =
=
N
N
i =1 k =1
Tr Vqiqk (0)Vqiqk (τ)
N
Tr Vqiqi(0)Vqiqi(τ) +
i =1
N
k = 1
k = i
Tr Vqiqk (0)Vqiqk (τ)
Substituindo o resultado para Vqiqk mostrado em (3.35) em dois instantes de tempo distintos
e efetuando a operação do traço, vem:
Tr V(0)V(τ) =
Onde definimos:
N
i =1
⎧
N
⎪⎨ N
Υ3q (ria (0),rib (τ))
⎪⎩
a = 1
a = i
b = 1
b = i
b = a
+ 2 Υ2q (ria (0) ,ria (τ))
Υ2q (ria (0) ,ria (τ)) = f (ria (0)) f (ria (τ))(ria (0) · ria (τ)) 2 + f (ria (0))h(ria (τ))r 2
ia (0) +
⎫
⎪⎬
+ f (ria (0))h(ria (τ))r 2
ia (τ) + 3h(ria (0)) h(ria (τ))
Υ3q (ria (0),rib (τ)) = f (ria (0)) f (rib (τ)) (ria (0) · rib (τ)) 2 + f (ria (0)) h(rib (τ))r 2
ia (0) +
+ h(ria (0)) f (rib (τ)) r 2
ib (τ) + 3h(ria (0))h(rib (τ))
Desta forma, obtivemos as expressões que, com as medições das posições realizadas no decor-
rer da simulação, nos possibilita calcular fc (τ1), fc (τ2),... de acordo com a equação (5.5).
Para intervalos de tempo suficientemente longos, as posições inicial e final das partículas
tornam-se descorrelacionadas (o sistema perde a memória). Como resultado, a média do
produto entre as hessianas se fatora, 〈V(0)V(τ)〉 = 〈V(0)〉 〈V(τ)〉, e a função de correlação,
⎪⎭