Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

90 7.2. Analisando os resultados
7.2.3 Expansão em cumulantes e número de Kubo
Agora avaliaremos a aproximação que consistiu em truncar a expansão em cumulantes na
segunda ordem. Como discutido na seção 3.3, o parâmetro que regula a qualidade da ex-
pansão em cumulantes é o número de Kubo que denotaremos por η K . Na seção 3.3.2, vimos
que o número de Kubo é dado pelo produto entre α , parâmetro que quantifica a magnitude
das flutuações nos elementos da hessiana V (t), pelo tempo de autocorrelação τc entre estes
elementos. Desta forma, com a notação da seção 3.3.2, temos que o número de Kubo é dado
por (ατc) o qual, utilizando a notação da seção 3.9, passa a ser escrito como ατc = σλτ (1)
c
uma vez que τ (1)
c é identificado como o mais relevante tempo de correlação do sistema. Con-
tudo, por tratar-se de uma expansão em cumulantes não convencional, isto é, uma expansão
em função de superoperadores que fornece resultados em termos matriciais, uma análise di-
mensional revela (o número de Kubo, como parâmetro perturbativo, deve ser adimensional)
que, para o nosso caso particular, o número de Kubo deve envolver o parâmetro τ (1)
c elevado
ao quadrado e não simplesmente o produto σλτ (1)
c , explicitamente:
η K = σλ
(1) 2
τ c
Podemos estimar o comportamento de η K como função a densidade utilizando os resulta-
dos do capítulo anterior. Substituindo σλ como mostrado na equação (6.11) e desprezando
a dependência com ρ 0 do tempo τ (1)
c , obtemos, para temperatura fixa e baixas densidades,
a seguinte relação:
η K = σλ
(1) 2 √
τ c ∝ ρ0 (7.3)
Este último resultado nos mostra que η K → 0 conforme ρ 0 diminui, indicando que o número
de Kubo é um bom parâmetro perturbativo para estudos a baixas densidades. Podemos
quantificar esta relação substituindo os valores de σλ e τ (1)
c
mostrados, respectivamente,
nas tabelas 6.2 e 6.3 do capítulo anterior. O resultado é apresentado na tabela 7.2 e na
figura 7.3 onde observamos que η K assume valores entre aproximadamente 0.2 para a menor
densidade estudada (ρ 0 = 0.01), até um pouco além de 1, para a maior (ρ 0 = 0.50). Como
são menores do que um sobre quase todo o intervalo de densidade analisado, estes valores
sugerem que estamos em um regime adequado, ou seja, um regime de densidade baixa o
suficiente para truncarmos a expansão no segundo cumulante. Entretanto, é importante
observarmos que o número de Kubo apresentou uma variação relacionada por um fator da
ordem de 6 entre seu menor e maior valor, indicando que o resultado para o expoente de
Lyapunov deveria piorar, em virtude da redução da qualidade do truncamento, conforme a
densidade aumenta. Mas, como mostrado na figura 7.1, essa piora não ocorreu. Em verdade,
ao analisarmos com mais cuidado os dados notaremos que o acordo entre teoria e simulação
aumentou com a densidade.
O número de Kubo sofrendo uma variação por um fator de aproximadamente 6 associada