Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

3. Método Estocástico 35
onde passaremos a usar a seguinte definição para as seis matrizes da base:
I1 =
Y1 =
13N O
O O
Y3N O
O O
3.8 Elementos matriciais
I2 =
Y2 =
O O
O 13N
O O
O Y3N
I3 =
Y3 =
O 13N
13N O
O
Y3N
Y3N O
(3.52)
Lembremos que o expoente de Lyapunov está relacionado com o autovalor de Λ que possui
a maior parte real. Para obtermos os autovalores do superoperador, devemos expressá-lo
matricialmente em alguma base. A equação (3.51) nos diz que a média da matriz densi-
dade pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes Ii e Yi . Em verdade, a
equação (3.51) possui um significado mais importante do que pode aparentar. Como está
demonstrado no apêndice B, a base formada pelas seis matrizes que aparecem nesta equação,
constitui o subespaço relevante na diagonalização de Λ. Desta forma, nosso objeto de in-
teresse passa a ser uma matriz 6 × 6 dada pelo superoperador Λ expresso na base β que
passaremos a denotar como a seguir:
β =
Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6
=
I1,I2,I3, Y1, Y2,
Y3
(3.53)
Pela definição das seis matrizes dada em (3.52), notamos que os elementos da base são
mutuamente ortogonais no sentido expresso a seguir:
Tr
Zj Z T i
∝ δij
i, j = 1, 2, . . . , 6
Os produtos escalares diferentes de zero, também podem ser diretamente calculados de (3.52),
resultando:
Tr
Z1 ZT
1
Tr
Z2 ZT
2
Tr
Z3 ZT
3
= 3N Tr
= 3N Tr
= 6N Tr
Z4 Z T 4
Z5 Z T 5
Z6 Z T 6
= 3N (N − 1)
= 3N (N − 1)
= 6N (N − 1)
(3.54)