Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

108 C.1. Cálculo da matriz Vqiqj
Ao substituirmos este último resultado na equação (C.1), obtemos:
∂ U
∂ ri
= 1
2
N
b =1
b = i
∂ Φ(ri,rb)
∂ ri
+ 1
2
N
a = 1
a = i
∂ Φ(ra,ri)
∂ ri
= 1
2
N
b = 1
b = i
∂
∂ ri
Φ(ri,rb) + Φ(rb,ri)
Agora vamos aplicar mais uma vez o gradiente sobre U . Como as derivadas comutam
(funções contínuas e diferenciáveis), podemos escrever:
∂ 2 U
∂ rj ∂ ri
= 1
2
N
b = 1
b = i
∂
∂ ri
∂
∂ rj
Φ(ri,rb) + Φ(rb,ri)
(C.4)
Ao usarmos o resultado mostrado em (C.3), notamos que a derivada com respeito a rj na
equação acima fica:
∂
∂ rj
Φ(ri,rb) + Φ(rb,ri)
Resultando:
∂ 2 U
∂ rj ∂ ri
= 1
2 δij
N
b = 1
b = i
∂ 2
∂ r 2 i
= δij
∂
∂ ri
Φ(ri,rb) + Φ(rb,ri) + δbj
Φ(ri,rb) + Φ(rb,ri) + 1
2
(1 − δij)
∂
∂ rb
Φ(ri,rb) + Φ(rb,ri)
∂ 2
Φ(ri,rj) + Φ(rj,ri)
∂ri∂rj
(C.5)
onde o fator (1 − δij) presente no segundo termo se encarregará de selecionar i = j após o
Kronecker δbi eliminar a soma sobre b na equação (C.4). Se Φ for invariante por translação
espacial, como também fora discutido anteriormente, teremos:
Φ(ra,rb) = Φ(ra − rb)
acarretando:
∂
∂ ra
Φ(ra − rb) = − ∂
Φ(ra − rb)
∂ rb
Levando este resultado em (C.5) e depois assumindo simetria rotacional, ou seja:
Φ(ra − rb) = Φ(|ra − rb|) = Φ(|rb − ra|)
obtemos a equação (3.34) da seção 3.6:
∂ 2 U
∂ rj ∂ ri
= Vqjqi = δij
N
b =1
b = i
∂ 2
∂ r 2 i
Φ(|ri − rb|) − (1 − δij)
∂ 2
∂ r 2 i
Φ(|ri − rj|) (C.6)