Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

6. Dinâmica Molecular: Aplicação 67
elementos, resultando:
µ = 1
3N
N
i =1
Tr Vqiqi
(6.1)
Neste ponto, poderíamos utilizar a propriedade da média das matrizes menores não depender
da partícula específica sobre qual ela é calculada para, desta forma, eliminar a soma em i
na equação anterior. Não faremos isso no momento. Primeiramente obteremos uma equação
que será utilizada nos cálculos numéricos, deixando a inclusão de resultados que são essen-
cialmente analíticos para mais à frente. Este procedimento visa deixar que os resultados
teóricos esperados revelem-se através da própria simulação. Substituindo na equação (6.1)
a expressão para a média 〈Vqiqi〉 mostrada em (3.40), obtemos:
µ = 1
3N
N
i =1
N
b =1
b = i
f (rib) r 2
ib + 3h(rib)
(6.2)
As funções auxiliares f e h, que envolvem derivadas do potencial, foram definidas em (3.36),
o resultado explícito para ambas utilizando-se o potencial Φ sf (r) é mostrado em (4.4).
A equação (6.2) será calculada com os dados numéricos. A média, portanto, é temporal,
efetuada com as medições das posições das N partículas realizadas no decorrer da simulação,
conforme discutido na seção (6.1).
Para obtermos um resultado teórico para µ, substituiremos a média temporal utilizada
na simulação por uma média canônica efetuada sobre um sistema isotrópico constituído de
partículas idênticas e sem estrutura. As equações a seguir apresentam os passos que, a partir
de (6.2), nos levam ao resultado analítico para µ:
µ =
=
=
=
=
1
3N
1
3N
1
3N
1
3N
1
3N
= 4π ρ 0
3
N
i =1
N
i =1
N
b =1
b = i
N
b =1
b = i
N!
(N − 2)!
f (rib) r 2
ib + 3h(rib)
d 3 r1 . . . d 3 rN
d 3 r1 d 3 r2
rc
4π V
0
rc
dr r 2
0
d 3 r1 . . .d 3 rN
f (rib) r 2
ib + 3h(rib) Fq (r1, . . . ,rN)
f (r12) r 2
12 + 3h(r12) Fq (r1, . . .,rN)
f (r12) r 2
12 + 3h(r12) f2q (r1,r2)
dr12 r 2 12
f (r12) r 2 2 N
12 + 3h(r12)
V 2 g2 (r12)
f (r) r 2
+ 3h(r) g2 (r) (6.3)