Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

100 A.2. Cálculo dos elementos matriciais Λij
A.2.2 Cálculo das matrizes Λ IY e Λ YI
Aqui não será necessário atravessarmos toda a bateria de contas da seção anterior. Vamos
iniciar pela matriz Λ IY . Podemos simplificar bastante os cálculos do setor misto IY ao
notarmos que:
Λ Yj = Λ0 Yj − ΛIj + Λ0 Ij
(A.11)
que é uma conseqüência do par de equações mostradas em (A.4). Λ 0 S é a matriz obtida ao
fazermos V = δV (t) = δV (t ′ ) = O em (A.1). O resultado deste procedimento quando S
é uma das matrizes da base, é equivalente a colocarmos V = δV (t)δV (t ′ ) = O nas
seis equações mostradas em (A.3) e (A.5). Em particular, para as três matrizes do setor Y,
temos:
Λ0 Y1 =
O O
O O
E para as três do setor I :
Λ0 I1 = −
O O
O O
Λ0 Y2 =
Λ0 I2 =
O
Y3N
Y3N O
O 13N
13N O
Λ0 Y3
Y3N O
= 2 (A.12)
O O
Λ0 I3 = 2
13N O
O O
(A.13)
Para obtermos Λ IY , deveremos calcular o traço das matrizes Λ Yj I T i (ver Eq. (A.6)). As
matrizes Λ0 Yj mostradas em (A.12) possuem traço nulo, com o mesmo resultado valendo
para Λ0 Yj I T i
Tr Λ Yj I T i
, como pode ser diretamente percebido. Desta forma, resulta de (A.11):
= − Tr ΛIj I T i
Dividindo ambos os lado por Tr Ii I T i
Λ IY = −Λ II + Λ II
0
+ Tr Λ0 Ij I T i
, vem:
Explicitamente, a matriz Λ II
0 é dada por (basta usar (A.6) com Λ0 no lugar de Λ e as
equações (A.13)):
Λ II
0 =
⎛ ⎞
0 0 2
⎝0 0 0⎠
(A.14)
0 1 0
Agora olhemos Λ YI . Seguindo o mesmo raciocínio anterior, notaremos que:
ΛIj Y T i = Λ0 Ij Y T i −
Tr = 0
ΛIj I T i + Λ0 Ij I T i