Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

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48 5.4. Algoritmo de integração Somando e subtraindo estas duas expressões, obtemos o algoritmo de Verlet: ri (t + δt) = 2ri (t) − ri (t − δt) + 1 m δt 2 Fi (t) + O δt 4 vi (t) = 1 ri (t + δt) − ri (t − δt) 2δt + O δt 2 (5.6a) (5.6b) A velocidade v = ˙r não é necessária para computar a trajetória, porém ela entra no cálculo da energia. Perceba que o erro na posição é menor do que o da velocidade e que seu cálculo encontra-se sempre um passo na frente. Em nosso trabalho não utilizamos o algoritmo original de Verlet mas uma modificação denominada Velocity Verlet de 1982. Embora sua aplicação seja um pouco mais complexa, pois envolve um passo a mais, o Velocity Verlet possui a vantagem de sincronizar a evolução da posição e da velocidade e diminuir erros de arredondamentos. Sua estrutura é: ri (t + δt) = ri (t) + δtvi (t) + 1 2m δt 2 Fi (t) vi (t + δt) = vi (t + δt/2) + 1 2m δtFi (t + δt) sendo a velocidade no passo intermediário calculada através de: vi (t + δt/2) = vi (t) + 1 2m δtFi (t) (5.7) Embora não seja um resultado imediato, o par de equações (5.7) que define o algoritmo Velocity Verlet, é equivalente à equação (5.6a) que fornece a trajetória no algoritmo de Verlet original (ver [50] ). Discussão sobre os motivos que tornam os algoritmos de Verlet, ainda que simples, tão eficientes quanto esquemas de integração de ordem maior, pode ser encontrada em [37]. No quadro a seguir é apresentado esquematicamente os três passos que implementam o Velocity Verlet em um programa: ============================================================== Velocity Verlet ============================================================== Inicialmente temos: r (t), v (t) e F(t) para as N partículas. 1 - Calculamos r (t + δt) usando r (t), v (t) e F(t) Calculamos v (t + δt/2) usando v (t) e F(t) Agora temos: r (t + δt), v (t + δt/2) e F(t) 2 - Calculamos F(t + δt) usando as distancias r (t + δt) Agora temos: r (t + δt), v (t + δt/2) e F(t + δt) 3 - Calculamos v (t + δt) usando v (t + δt/2) e F(t + δt) Temos no final: r (t + δt), v (t + δt) e F(t + δt) ==============================================================
5. Dinâmica Molecular: Teoria 49 5.4.1 Escolha do passo δt A escolha do tamanho do passo δt de integração das equações do movimento é baseada na conservação da energia total. Cada algoritmo possui suas particularidades no tocante à conservação da energia no decorrer da simulação, mas, normalmente, quanto menor o δt , melhor serão os resultados, isto é, menores serão as flutuações. Um passo muito grande pode até mesmo resultar num deslocamento secular da energia total. Tratando os átomos do sistema como esferas rígidas com diâmetro igual ao parâmetro de Lennard–Jones σ (ver tabela 4.1), podemos estimar o intervalo de tempo médio τ entre colisões sucessivas usando : τ = 1 √ 2 π d 2 ρ 0 vrms (5.8) onde d é o diâmetro, ρ 0 é a densidade numérica e vrms a velocidade quadrática média que, para o caso de uma distribuição maxwelliana de velocidades, a saber: m P (v, T) = 4π 2πκBT 3/2 v 2 e − m v 2 2κBT (5.9) só depende da temperatura: vrms = 3κBT/m . Se usarmos o parâmetro d e a massa m referentes ao Ar (dAr = σAr = 3.40 ×10 −10 m e mAr = 6.63 ×10 −26 Kg ), a densidade ρ 0 = 1.27×10 28 /m 3 e a temperatura T = 179K , obtemos: τ ≈ 4.6 × 10 −13 s Um nível de conservação da energia aceitável para o Ar sob tais condições é obtido com passos de 10 −14 s, ou seja, uma ordem de grandeza menor que a estimativa para o tempo médio entre colisões sucessivas (resultado fisicamente razoável, ver [37] ). O cálculo que acabamos de realizar foi feito em unidades físicas que, conforme discutido no apêndice E, não são convenientes em simulações computacionais; por isso, trabalharemos com unidades reduzidas. Por exemplo, para o caso do Ar, ρ 0 = 1.27 ×10 28 /m 3 corresponde à ρ ∗ 0 = 0.50 em unidades reduzidas e T = 179.7K à T ∗ = 1.50 (ver tabela E.2 para uma comparação entre unidades físicas e reduzidas de diversas grandezas para o Ar e Ne ). O tamanho do passo utilizado em nossas simulações foi δt ∗ = 0.001 que, continuando com o exemplo do Ar, corresponde à δt = 2.16 × 10 −15 s. Isso significa que uma simulação com um milhão de passos, duração típica das simulações aqui realizadas, corresponde a uma evolução real do sistema da ordem de 10 −9 s = 1ns. Para uma dedução intuitiva desta expressão ver Nussenzveig [51], Pág. 256, para uma mais rigorosa, ver Sone [52], Pág. 551.
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