Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

36 3.8. Elementos matriciais
Os 36 elementos de Λ com respeito a base β mostrada em (3.53) são então calculados
usando:
Λ ij =
Tr ΛZj ZT i
Tr
Zi ZT i
i, j = 1, 2, . . . , 6 (3.55)
Chamaremos de Λ6×6 a matriz 6 × 6 que representa o superoperador Λ na base β . Orga-
nizando a base na ordem em que aparece em (3.53), esta matriz possui a seguinte estrutura:
Λ6×6 =
⎛
⎝ ΛII Λ IY
Λ YI Λ YY
⎞
⎠ (3.56)
onde Λ II , Λ IY , Λ YI e Λ YY são matrizes 3 × 3. Estas submatrizes estão associadas aos
setores da base. Por exemplo, Λ II está associada ao setor I , sendo que o cálculo de seus
nove elementos envolve apenas {I1,I2,I3} através da equação (3.55). Chamamos a atenção
para a ordem das operações no numerador da equação (3.55), o superoperador deve sempre
atuar primeiro na matriz à sua direita:
ΛZj Z T i =
ΛZj Z T i
O resultado completo para todos os elementos de Λ6×6 encontra-se no apêndice A. Aqui,
para ilustrar o procedimento, vamos calcular apenas dois deles. Comecemos por Λ11 . Pela
equação (3.55), vemos que é necessário avaliarmos ΛZ1 . Como todas as matrizes da base
são simétricas, podemos usar (3.21) mais uma vez, resultando:
ΛZ1 = ΛI1 = −
Desta forma:
ΛZ1 Z T 1 = ΛI1 I T 1
O V
V O
= −
+ 2
∞
0
O O
V O
dτ
+ 2
O τ δV (t)δV (t ′ )
τ δV (t)δV (t ′ ) δV (t)δV (t ′ )
∞
0
dτ
O O
τ δV (t)δV(t ′ ) O
(3.57)
que é uma matriz de traço nulo, acarretando, pela equação (3.55), em Λ11 = 0. Consideremos
um exemplo mais ilustrativo: vamos calcular Λ21 . Podemos aproveitar a equação (3.57) e
Compara com o problema freqüentemente tratado em Mecânica Quântica. Seja A um operador linear
e {|ϕn〉} uma base ortonormal. Neste caso, A =
n,m Anm |ϕn〉 〈ϕm| com Anm = 〈ϕn| A |ϕm〉 =
Tr A(|ϕn〉 〈ϕm|) T
. Caso a base não seja ortonormal, mas apenas ortogonal, teremos: Anm =
Tr A |ϕm〉 〈ϕn|
que é análoga a equação (3.55). Ver, por exemplo, Cohen-Tannoudji, Vol. 1 pág. 203 [36].
Tr[|ϕn〉 〈ϕn|]