Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

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50 5.5. Condições de contorno periódicas e convenção da imagem mínima 5.5 Condições de contorno periódicas e convenção da imagem mí- nima Simulações ocorrem em regiões delimitadas espacialmente, que possuem forma e tamanho adequados. Podemos considerar os limites como paredes rígidas contra as quais os átomos colidem quando rumam para o exterior. No caso de um sistema tridimensional homogêneo com N átomos e densidade correspondente a um líquido ou gás, aproximadamente N 2/3 destes átomos estarão em regiões próximas as paredes. Em sistemas macroscópicos isso implica que apenas uma pequena fração dos átomos sofrerá os efeitos das bordas, prevale- cendo então as propriedades referentes ao interior do sistema (propriedades de bulk ). Com efeito, para N da ordem do número de Avogadro apenas 1 a cada 10 8 átomos estará em regiões próximas às paredes. Já o mesmo não ocorre para valores N típicos utilizados em simulações MD, que são da ordem de 10 2 e 10 3 átomos, N = 108 para o nosso caso particular. Para estes valores, 50 % ou mais dos átomos encontram-se em regiões cujos efeitos das bordas são relevantes. A menos que o interesse seja estudar a influência das paredes rígidas sobre o sistema, uma maneira de suplantá-las deve ser buscada. Figura 5.1: Condições de contorno periódicas para um sistema em duas dimensões. Sempre que uma partícula sai (ou entra) da célula central, uma de suas imagens periódicas entra (ou sai) pelo lado oposto. Em duas dimensões, a caixa central é circundada por oito caixas idênticas; para um sistema tridimensional, teríamos 26 caixas cúbicas em contato com a célula central. Retirado de Allen & Tildesley [47]. Para eliminar os efeitos da superfície e obter resultados mais próximos possíveis dos esperados para sistemas macroscópicos, são usadas condições de contorno periódicas, que limitam espacialmente o sistema, porém deixando-o livre de paredes rígidas. Inicialmente N átomos encontram-se numa região com forma e tamanho particular. A caixa cúbica tem
5. Dinâmica Molecular: Teoria 51 Figura 5.2: Ilustração da convenção da imagem mínima para um sistema bidimensional. A célula central possui cinco moléculas. A caixa tracejada, com a mesma forma e tamanho da caixa central, construída em torno da molécula 1, também possui cinco moléculas. A partícula 1 não interagirá com a partícula 5, mas sim com sua imagem mais próxima presente na célula C. O círculo tracejado representa o raio de corte. Retirado de Allen & Tildesley [47]. sido a escolha quase exclusiva em simulações computacionais, principalmente devido à sua simplicidade geométrica. Condições de contorno periódicas são obtidas replicando-se a caixa inicial por todos os lados como mostrado na figura 5.1 para duas dimensões. Obtém-se assim um sistema de células idênticas que, a princípio, preenchem todo o espaço. Cada um dos N átomos na célula central terá sua respectiva imagem nas células adjacentes, possuindo a mesma velocidade e a mesma posição relativa aos outros átomos. Desta forma, sempre que uma determinada partícula sai (ou entra) da caixa central, uma de suas imagens entra (ou sai) pelo lado oposto, permanecendo fixo, portanto, o número N de átomos na região delimitada de interesse e, por conseguinte, também a densidade. Quando aplicamos condições de contorno periódicas, cada átomo da célula central in- teragirá com todos os outros, isto é, com os N − 1 átomos que compartilham a mesma célula e com as imagens periódicas, incluindo a do próprio átomo, presentes nas infinitas réplicas da caixa central. Se o objetivo for calcular a energia potencial total para um sistema cujo potencial seja aditivo aos pares (Eq. (3.33)), condições de contorno periódicas implica- riam numa soma infinita de termos. Esta inconveniência do método, na prática, acaba não existindo, pois freqüentemente lidamos com potenciais de curto alcance, possibilitando que a interação seja truncada quando a separação intermolecular ultrapassa uma determinada distância de corte rc . Potencial de curto alcance, neste contexto, significa que a energia potencial total de um determinado átomo na posição ri é dominada pelas contribuições das
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