Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

Apêndice C
Cálculos envolvendo o potencial
Neste apêndice derivaremos alguns resultados envolvendo o potencial que foram utilizados
no corpo da dissertação.
C.1 Cálculo da matriz Vqiqj
Iniciaremos escrevendo a energia potencial total de interação entre as N partículas em termos
do potencial de pares:
U (r1, . . .,rN) =
N−1
a =1
N
b >1
Φ(ra,rb) = 1
2
N
a =1
N
Φ(ra,rb) (C.1)
onde a mudança na estrutura da soma é permitido devido à simetria por permutação da
função Φ, conforme fora discutido na seção 3.5. O gradiente de U é obtido calculando-se o
gradiente do potencial de pares, que, em coordenadas cartesianas, é dado por:
∂ Φ(ra,rb)
∂ ri
= ∂ Φ(ra,rb)
∂ xi
ˆx +
∂ Φ(ra,rb)
∂ yi
b = a
ˆy +
∂ Φ(ra,rb)
∂ zi
ˆz (C.2)
Ao escrevermos explicitamente Φ como função das coordenadas cartesianas, ou seja:
Φ(ra,rb) = Φ(xa, ya, za , xb, yb, zb)
imediatamente vemos que:
∂ Φ(ra,rb)
∂ xi
= ∂ Φ(ra,rb)
∂ xa
δai +
∂ Φ(ra,rb)
∂ xb
com resultados similares para as derivadas com respeito a xi e yi . δab é o delta de Kronecker
usual. Desta forma, a equação (C.2) fica:
∂ Φ(ra,rb)
∂ ri
= ∂ Φ(ra,rb)
∂ ra
δai +
∂ Φ(ra,rb)
∂ rb
107
δbi
δbi
(C.3)