Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

114 D.1. Função de distribuição reduzida
Sendo bs uma função simétrica e não aditiva das s variáveis x1, . . .,xs e b0 uma constante.
Normalmente bs é referida como função dinâmica irredutível de s partículas. No caso de b1,
a simetria implica em b1 (xi) = b1 (xj) para qualquer i e j.
O valor médio (de ensemble) da função dinâmica b, representado por 〈b〉, depende da dis-
tribuição de probabilidade no espaço de fases F (x1, . . .,xN) que, de acordo com a mecânica
estatística clássica de equilíbrio, determina o estado estatístico do sistema. O valor médio
de b é calculado usando-se F como peso de acordo com a equação a seguir:
〈b〉 =
d 3 x1 . . . d 3 xN b (x1, . . .,xN) F (x1, . . .,xN)
Com as N partículas idênticas, a função F, assim como b, também possui simetria por
permutação:
F (x1, . . . ,xj, . . .,xk, . . .,xN) = F (x1, . . . ,xk, . . . ,xj, . . . ,xN)
Sendo construída de forma a ser normalizada:
d 3 x1 . . .d 3 xN F (x1, . . .,xN) = 1 (D.3)
Ao usarmos a decomposição mostrada na equação (D.2) para o cálculo de 〈b〉, o primeiro
termo, isto é, a constante b0, fornece:
〈b0〉 = b0
d 3 x1 . . .d 3 xN F (x1, . . .,xN) = b0
devido à normalização de F. A contribuição do termo seguinte, advinda da função dinâmica
irredutível de uma partícula, se escrever:
N
i = 1
b1 (xi)
=
d 3 x1 . . . d 3 xN
N
i =1
b1 (xi)
= N
F (x1, . . .,xN) =
d 3 x1 . . .d 3 xN b1 (x1) F (x1, . . .,xN) (D.4)
onde a última passagem só foi possível pois as N integrais na soma possuem o mesmo valor
numérico devido à simetria de F por permutações. Vamos agora introduzir um novo objeto:
f1 (x1) = N
d 3 x2 . . .d 3 xN F (x1, . . .,xN) (D.5)
f1 (x1) é denominada função de distribuição reduzida de uma partícula. Podemos, então,
reescrever a equação (D.4) como:
N
i =1
b1 (xi)
= N
d 3 x1 . . . d 3 xN b1 (x1) F (x1, . . .,xN) =
d 3 x1 b1 (x1) f1 (x1)