Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

76 6.5. Resultados para fc (τ)
de acordo com sua definição (6.13), se anula. Isso restringe a escolha do intervalo de tempo
entre uma medição e outra para obtermos fc (τ). O cálculo dos valores médios referentes a µ
e σ 2
λ
envolveu medições da posição a cada 200 passos. Para o nosso sistema, este intervalo
entre medições se mostrou excessivamente grande para obtermos a função de correlação, isto
significa que 200 passos é suficiente para descorrelacionar as posições e levar fc (τ) à zero.
O intervalo adequado para que o perfil de fc (τ) se revelasse foi de 2 passos.
6.5.1 Aproximação gaussiana para fc (τ)
Efetuar uma média analítica para obter um resultado explícito para fc (τ) como função
de τ, é uma tarefa muito difícil, sobretudo quando a interação é dada por funções com
razoável complexidade, como é o caso do potencial de Lennard–Jones Φ sf (r) . Um possível
caminho para lidar com sistemas não integráveis, seria realizar uma expansão da posição e
obter uma solução em potências de τ, mas este método normalmente falha ao reproduzir o
amortecimento da correlação [1] . A abordagem que adotamos aqui foi propor, a partir dos
resultados da simulação, uma forma funcional para fc (τ) (ver o livro de Boon & Yip para
uma extensa discussão sobre funções de correlação no geral [53] ).
A figura 6.5 apresenta a função de correlação, para três valores de densidade, obtida
com os dados da simulação. Vemos também o melhor ajuste gaussiano. Não há motivos
para acreditarmos que fc (τ) seja realmente gaussiana. Uma forma funcional com mais
parâmetros livres , resultaria em um melhor ajuste. Contudo, uma função de Gauss apre-
senta vantagens no tratamento analítico do problema, sem afetar de forma preponderante,
mesmo com um ajuste não tão adequado, os resultados subseqüentes. Uma vantagem ime-
diata ao realizarmos uma aproximação gaussiana é ganharmos expressões simples para os
tempos § característicos τ (k)
c , com efeito:
τ (k+1)
c
=
∞
0
dτ τ k fc (τ) se fc (τ) = e −
τ 2
2σ 2
τ ⇒
⎧
⎪⎨
τ (1)
c =
⎪⎩ τ (3)
c =
π
2 στ
τ (2)
c = σ 2 τ
π
2 σ 3 τ
(6.14)
Desta forma, podemos obter στ através do ajuste dos dados da simulação e calcular os
tempos τ (k)
c . Este procedimento foi realizado, o resultado para as 14 densidades estudadas
está na Tabela 6.3. A figura 6.5 apresenta fc (τ) para três valores típicos de ρ 0 juntamente
com melhor ajuste gaussiano. Nas figura 6.7 e 6.6, podemos observar que e a dependência
entre a função de correlação com a densidade é pequena, o mesmo ocorrendo, portanto, com
os tempos característicos.
Assumindo uma forma funcional gaussiana, é possível obtermos um resultado analítico
explícito para os tempos τ (k)
c . O primeiro passo é expandir a forma funcional proposta em
b
−aτ Por exemplo, fc (τ) = e com a e b como parâmetros livres.
§ (1)
Importante observarmos que apenas o parâmetro τ c possui dimensão de tempo.