Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

3. Método Estocástico 21
produto (ατc) é chamado de número de Kubo, sendo o parâmetro perturbativo da expansão
em cumulantes. A hessiana V (t) apresenta invariância por translação temporal devido à
dinâmica hamiltoniana, tornando a média de L (t) estacionária e o cumulante L (t1) L (t2)
dependente apenas da diferença t1 − t2 . Substituindo τ = t1 − t2 a equação (3.16) fica:
u (t) = T
exp
αt L
+ α 2 t
t dτ
0
L (t) L (t − τ)
+ · · ·
u (0)
Podemos substituir o limite superior da integral em τ na equação anterior por t = ∞ , uma
vez que o cumulante se anula quando τ τc . Fazendo isso e passando para a representação
original de acordo com a equação (3.11), obtemos a evolução da média da matriz densidade
até segunda ordem na expansão em cumulantes:
ρ (t) = e t b Λ ρ (0) (3.17)
onde utilizamos a seguinte definição para o superoperador Λ:
Λ =
A0 + α A1
+ α 2
∞
0
dτ
δ A1 (t)e τ bA0 δA1 (t − τ)e −τ
bA0
(3.18)
Utilizamos também a abreviação: δ A1 (t) = A1 (t) −
A1
. O símbolo de ordenamento
temporal pôde ser dispensado pois, ao truncarmos a série na segunda ordem, o produto dos
operadores L já se encontra em ordem decrescente de seus argumentos temporais.
3.4 Média sobre vetores tangentes iniciais
Com a expansão em cumulantes, obtemos a evolução da média da matriz densidade. O su-
peroperador Λ não depende do tempo, conseqüentemente o expoente de Lyapunov máximo
está relacionado com seus autovalores. Mais precisamente, λ é a metade da maior parte real
dentre os autovalores do superoperador, relação que decorre ao substituirmos na equação (3.9)
a solução para 〈ρ(t)〉 mostrada em (3.17). Para extrairmos os autovalores, buscaremos uma
maneira de escrever explicitamente Λ como uma matriz, para isso, necessitaremos de uma
base que o expanda. Como Λ é um superoperador, a base será formada por operadores, isto
é, por matrizes. Iniciaremos escrevendo o seguinte resultado:
e t b A0 tA0 tA
Q = e Q e T 0 =
12n + tA0 Q 12n + tA T
0
(3.19)
onde Q é uma matriz 2n × 2n qualquer. A igualdade mais à direita vem ao notarmos
que A0 é uma matriz nilpotente, isto é, A k 0 = 0 para k ≥ 2, resultado que pode ser
diretamente obtido de sua definição em (3.4). Agora consideremos uma matriz simétrica S
também com 2n×2n entradas. Devido à simetria, a ação de qualquer superoperador sobre S