Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

16 3.2. Definição do superoperador A e da matriz densidade ρ
empregada na introdução. Por envolver a hessiana em sua construção, o Método Estocástico
não se aplica, por exemplo, ao gás de esferas rígidas estudado por Krylov.
Como discutido no capítulo 2, embora o vetor tangente ξ = ξ (t ;x0, ξ 0) dependa
de ξ 0 = ξ (0), o expoente de Lyapunov máximo é determinado unicamente pela compo-
nente de ξ 0 ao longo da direção associada a λ1 . Agora vamos assumir que para qual-
quer condição inicial x0 , a trajetória de fase x (t) seja ergódica na superfície de energia
H(q,p) = E = cte., acarretando na independência da órbita x (t) com respeito a x0 , o
mesmo ocorrendo com ξ e com λ. Para sistemas hamiltonianos com muitos graus de li-
berdade, é esperado que as regiões do espaço de fases descritas por uma distribuição de
probabilidade microcanônica (por uma medida microcanônica) sejam muito maiores do que
as possíveis regiões regulares [7,12] . Desta forma, podemos expressar o expoente de Lyapu-
nov como uma média microcanônica com respeito às condições iniciais:
λ = lim
t → ∞
1
2t
ln ξ (t;x0, ξ 0) 2
(3.5)
onde fizemos ξ 0 = 1 e usamos a definição equivalente elevando a norma ao quadrado e
dividindo pelo fator 2 por motivos que ficarão claros na próxima seção. Uma média sobre o
logaritmo de uma função apresenta importantes dificuldades técnicas, por isso, trocaremos
para a média recozida:
λ lim
t → ∞
1
2t
ln
ξ (t;x0, ξ 0) 2
(3.6)
Formalmente podemos obter uma relação entre as equações (3.5) e (3.6) utilizando o truque
das réplicas, contudo estas duas expressões são passíveis de testes numéricos e, como vimos
na seção 2.4, ambos os expoentes possuem valores bastante próximos para uma interação do
tipo Lennard–Jones (ver discussão sobre expoentes cozido e recozido e sobre a formulação do
expoente de Lyapunov no contexto da Mecânica Estatística em [28] e em suas referências).
Ao tratarmos x0 como uma variável aleatória com propriedades estatísticas conhecidas
(distribuição microcanônica), V (t;x0) define um processo estocástico e a equação (2.7)
pode ser considerada uma equação diferencial estocástica. O parâmetro α na equação (3.4)
quantifica a magnitude das flutuações nos coeficientes de V (t). Assumiremos que A1 (t) =
A1 (t;x0) possui um tempo de (auto)correlação τc finito de modo que os elementos de A1 (ta)
e A1 (tb) sejam estatisticamente independentes sempre que |ta − tb| τc , acarretando na
fatoração dos momentos: 〈A1 (ta)A1 (tb)〉 = 〈A1 (ta)〉 〈A1 (tb)〉 .
3.2 Definição do superoperador A e da matriz densidade ρ
Antes de aplicarmos os métodos utilizados na solução de equações diferenciais estocásticas,
notemos, conforme a equação (3.6), que não é necessário conhecermos ξ (t) para o cálculo