Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

20 3.3. Método de van Kampen
geratriz de momentos (funcional para o nosso caso):
exp −α
t
dt
0
′ B (t ′ )
∞
= exp (−α) k
t t1 tk−1
dt1 dt2 · · · dtk B (t1) B (t2) · · · B (tk)
0 0 0
k =1
Expandindo a exponencial do lado esquerdo desta equação obtemos uma série em momentos
análoga a (3.14). Após a expansão, tira-se o logaritmo natural de ambos os lados. Realiza-
se uma nova expansão, agora da forma ln(x + 1) e compara-se as mesmas potências de α.
Ao final deste processo, obtém-se a hierarquia de equações que relaciona os momentos 〈 · 〉
com os cumulantes 〈〈 · 〉〉 cujo resultado para os dois primeiros termos é:
B (t) = B (t)
B (t1) B (t2) = B (t1)B(t2) + B (t1) B (t2)
E as relações inversas se escrevem:
B (t) = B (t)
B (t1)B(t2) = B (t1) B (t2) − B (t1) B (t2)
(3.15)
Notemos na equação acima que o segundo cumulante é a covariância. Esta relação nos
mostra a conveniência em usarmos uma expansão em cumulantes: quando o objeto B (ta)
torna-se estatisticamente independente de B (tb), e estamos assumindo para o nosso caso
que isto ocorre para uma diferença |ta − tb| finita, os momentos se fatoram ao passo que
os cumulantes se anulam. É dito que os momentos possuem a propriedade do produto e os
cumulantes a propriedade de aglomerado (cluster). Embora não tenhamos explicitado mais
termos na equação (3.15), a propriedade de aglomerado se aplica a cumulantes de qualquer
ordem, ou seja, 〈〈B (t1)B(t2) · · · B (tk)〉〉 é nulo sempre que a seqüência temporal t1, t2, . . ., tk
apresentar um hiato da ordem de τc.
Vamos aplicar a expansão em cumulantes à equação (3.13). Como dito, dentro do
símbolo de ordenamento temporal podemos comutar livremente os objetos L (t), além disso,
a operação de média comuta com T[· · · ] . Desta forma, obtemos:
u (t) = T
exp
α
t
dt1
0
L (t1)
+ α 2
t t1
dt1 dt2
0 0
L (t1) L (t2)
+ · · ·
u (0)
(3.16)
A propriedade de aglomerado dos cumulantes faz com que o primeiro termo na série no
argumento da exponencial seja da ordem de αt , o segundo da ordem (αt) (ατc) e o termo
geral da ordem (αt) (ατc) k−1 ; estamos lidando então com uma relação linear com o tempo. O
Estamos assumindo que os objetos B(t) comutam para tempos distintos. Podemos também pensar neles
neste momento como funções e não matrizes, sem perda de generalidade.