Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

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30 3.6. Médias da hessiana os outros elementos de fora da diagonal. Como resultado final, teremos: f (rab) xab yab = f (rab)xab zab Desta forma, a equação (3.38) fica: f (rab)rab r T ab = f (rab) = ⎛ ⎜ ⎝ f (rab) r 2 ab 3 = f (rab) yab zab x 2 ab xab yab xab zab yab xab y 2 ab yab zab zab xab zab yab z 2 ab e a média de (3.35) assume a seguinte estrutura: Vqiqj = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ N b = 1 b = i − f (rib) f (rij) r 2 ib 3 r 2 ij 3 ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎝0 1 0 0 0 1 = 0 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎠ = 1 Tr f (rab)rab r 3 T ab + h(rib) 13 se i = j + h(rij) 13 se i = j Assim obtivemos o resultado que fora adiantado na equação (3.37). 13 (3.39) (3.40) Para um fluido simples, partículas idênticas e sem estrutura, as médias presentes na equação (3.40) não dependem do específico par de partículas sobre o qual ela é calculada. Por exemplo, considerando a função h em particular, esta independência implica na seguinte igualdade: h(r12) = h(r13) = h(r47) = · · · igualdade esta válida para todos os N(N − 1)/2 possíveis pares ab distintos entre N partículas idênticas. Esta equivalência estatística significa que, essencialmente, estamos li- dando com dois tipos de objetos: a média das matrizes menores Vqiqi da diagonal de V, todas com o mesmo valor numérico e proporcionais a 13 independentemente da partícula i , e a média das matrizes menores Vqiqj de fora da diagonal de V , todas também com o mesmo valor e proporcionais à identidade independentemente do par ij . Vamos denotar a média das matrizes da diagonal como 〈Vq1q1〉 e as de fora da diagonal como 〈Vq1q2〉 , desta , como veremos, dependem da temperatura e da densidade. As constante de propor- As médias Vqiqj cionalidade serão na verdade funções destas duas variáveis.
3. Método Estocástico 31 forma, a média da hessiana se escreve: V = Ou, ainda: ⎛ ⎜ ⎝ Vq1q1 Vq2q1 . VqNq1 ⎞ Vq1q2 · · · Vq1qN ⎟ Vq2q2 · · · ⎟ Vq2qN ⎟ .. ⎟ . . . ⎠ VqNq2 · · · VqNqN = = 1 3 Tr Vq1q1 ⎛ ⎞ 13 O · · · O ⎜ ⎟ ⎜O 13 · · · O⎟ ⎜ ⎝ .. ⎟ . . . . ⎠ O O · · · 13 + 1 3 Tr Vq1q2 1 V = 3 Tr Vq1q1 13N + 1 3 Tr Vq1q2 (Y3N − 13N) = = 1 3 Tr Vq1q1 13N + 1 3 Tr Vq1q2 Y3N onde as matrizes Y3N e Y3N são definidas como a seguir: Y3N = ⎛ ⎞ 13 13 · · · 13 ⎜ ⎟ ⎜13 13 · · · 13⎟ ⎜ ⎝ .. ⎟ . . . . ⎠ 13 13 · · · 13 Notar que (Y3N) 2 = N Y3N , como conseqüência: e Y3N = Y3N 2 = (Y3N − 13N) 2 = (Y3N) 2 − 2Y3N + 13N = = (N − 2) Y3N + (N − 1)13N ⎛ ⎞ O 13 · · · 13 ⎜ ⎟ ⎜13 O · · · 13⎟ ⎜ ⎝ .. ⎟ . . . . ⎠ 13 13 · · · O ⎛ ⎞ O 13 · · · 13 ⎜ ⎟ ⎜13 O · · · 13⎟ ⎜ ⎝ .. ⎟ . . . . ⎠ 13 13 · · · O (3.41) (3.42) resultado que será usado mais adiante. Um outro resultado importante, que também será empregado em cálculos subseqüentes, é obtido da multiplicação da hessiana V com a matriz Y3N . Ao utilizarmos a invariância translacional de U, expressa através da equação (3.31), esta multiplicação resulta: VY3N = O Conseqüentemente: V Y3N = V (Y3N − 13N) = −V δV Y3N = V − V Y3N = V Y3N − V Y3N = −δV (3.43) onde a segunda equação acima advém de Y3N ser uma matriz constante, não sendo afetada
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