Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

3. Método Estocástico 19
Quando os objetos L (ta) e L (tb) comutam, podemos estender todas as integrais de tk = 0
até tk = t tendo o cuidado apenas de dividir o respectivo termo da série ‡ por k ! . No entanto,
mesmo quando isso não ocorre, podemos escrever:
u (t) =
12n +
∞
k =1
α k
k !
t t t
dt1 dt2 · · · dtk T
0 0 0
L (t1) L (t2) · · · L (tk)
u (0) (3.12)
onde introduzimos T[· · · ] que é o símbolo de ordenamento temporal, sua função é ordenar
os termos em ordem decrescente de seus argumentos temporais o que nos possibilita comutar
o integrando. Explicitamente, o símbolo T [· · · ] realiza a seguinte operação:
T L (t1)
L (t2)
=
⎧
⎨L
(t1) L (t2) se t1 ≥ t2
⎩L
(t2) L (t1) se t1 < t2
Podemos ainda reescrever a equação (3.12) compactamente como a seguir:
t
u (t) = T exp α dt ′
L ′
(t )
u (0) (3.13)
0
Aparentemente este último resultado é suficiente para resolver o nosso problema, basta-
ria tirarmos a média de u (t) e depois voltarmos para a representação original usando a
equação (3.11). Mas olhemos em mais detalhes a média de u (t):
〈u (t)〉 =
t
12n + α dt1
0
L (t1)
+ α 2
t t1
dt1 dt2
0 0
L (t1)
L (t2) + · · · u (0) (3.14)
onde usamos o fato de u (0) ser uma matriz não aleatória. Os termos sucessivos desta
série possuem potências crescentes não apenas do parâmetro α mas também do tempo,
sendo válida, portanto, apenas para tempos curtos. Uma maneira rápida de enxergarmos
este resultado é supor L estacionário, desta forma teríamos o primeiro termo da ordem
de (αt) 0 , o segundo da ordem de (αt) 1 , o terceiro, (αt) 2 e assim por diante. Como o
expoente de Lyapunov máximo é definido no limite t → ∞, uma série em potências de αt
não é adequada.
3.3.2 Expansão em cumulantes
A equação (3.14) para a média 〈u (t)〉 é uma expansão em momentos que fornece uma
série em potências de (αt). Uma maneira de contornarmos este inconveniente é usarmos
uma expansão em cumulantes. Formalmente os cumulantes são definidos através da função
‡ Basta lembrarmos que:
t
dt f (t)
0
2
t t1
= 2 dt1 dt2 f (t1)f (t2).
0 0