Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

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4 1.2. Teorias recentes todas são teorias estocásticas. A teoria desenvolvida por Barnett e o Método Estocástico são construídas sobre primeiros princípios no que diz respeito ao cálculo do expoente de Lyapunov máximo, o que as tornam mais atrativas conceitualmente quando comparadas à abordagem geométrica. A construção sobre primeiro princípios e o caráter perturbativo bem definido do Método Estocástico encontraram particular relevância no presente trabalho, onde, como discutiremos oportunamente, a teoria foi submetida a regimes possivelmente além do alcance das aproximações presentes em sua exposição original. O Método Estocástico obteve bom acordo com simulações numéricas para o caso do hamiltoniano XY de campo médio, o qual nos referiremos também como HMF, em uma dimensão (ver [2]). Aqui, aplicaremos a teoria a um sistema interagindo com um potencial do tipo Lennard–Jones em dimensão três. Esta diferença na dimensão pode ser conveniente- mente incorporada substituindo-se médias sobre objetos unidimensionais por médias sobre objetos representados por matrizes 3 ×3. Uma grande vantagem operacional do Método Es- tocástico é sua capacidade de relacionar o expoente de Lyapunov máximo com os autovalores de uma matriz real 3×3, facilmente diagonalizável. A relação em termos de uma matriz 3×3 é obtida ao realizarmos uma aproximação final, restringindo a dimensão da base, que para o caso do HMF em uma dimensão resulta em uma aproximação essencialmente exata, a menos de correções da ordem de 1/N para um sistema de N partículas, como demonstrado em [1]. Inicialmente suspeitávamos que esta aproximação seria muito forte para o sistema aqui tratado. Possivelmente em dimensão três para um potencial do tipo Lennard–Jones fosse necessário diagonalizarmos uma matriz maior, digamos, 4 ×4, como sugeria a teoria de Barnett. Entretanto, constatamos que neste caso também é suficiente diagonalizarmos uma matriz 3 × 3 e que as correções envolvidas permanecem da ordem de 1/N. Uma segunda e mais profunda diferença decorre do HMF, ao contrário do potencial de Lennard–Jones, possuir interação de alcance infinito. Contudo, o Método Estocástico foi capaz de reproduzir os resultados esperados para o caso mais geral do hamiltoniano αXY para uma, duas e três dimensões (ver [3]). O hamiltoniano α XY foi proposto por Antene- odo & Tsallis em [20] como uma generalização do hamiltoniano XY original. O alcance da interação em um sistema αXY é regulada pelo parâmetro α através de uma lei de potências em função da distância r com a forma r −α ; para α = 0 recupera-se o HMF de alcance infinito. A parte atrativa do potencial de Lennard–Jones, responsável pelo alcance da interação, possui dependência com a distância conforme a lei r −6 resultando, em dimensão d = 3, na razão α/d = 6/3 = 2 > 1, que caracteriza uma interação de curto alcance para sistemas clássicos (ver Tsallis [21]). Em [3], para o sistema αXY, o Método Estocástico foi tes- tado para valores de α/d compreendidos no intervalo [0.0, 2.5], mostrando que o alcance da interação não é, em princípio, fator limitante para a teoria. Os bons resultados obtidos com a aplicação do Método Estocástico aos sistemas HMF e α XY somado à possibilidade de se controlar e testar precisamente as aproximações re- alizadas em cada etapa do seu desenvolvimento, nos levaram a aplicar a teoria ao gás de Lennard–Jones. Porém, neste caso, o bom resultado não se repetiu. Obtivemos, no entanto,
1. Introdução 5 um resultado global consistente. Os prováveis motivos que resultaram na diferença entre teoria e simulação assim como a maneira de contorná-la, serão discutidos em detalhes no capítulo 7. Organização da Dissertação: Os capítulos subseqüentes encontram-se assim organizados: • Capítulo 2: Neste capítulo daremos a definição formal para o expoente de Lyapunov máximo de um sistema hamiltoniano. Discutiremos também o método de Benettin, que é o método numérico padrão para obter o expoente de Lyapunov a partir de sua definição. Utilizaremos os resultados numéricos obtidos através do método de Benettin para comparar com os obtidos através do Método Estocástico. • Capítulo 3: Neste capítulo apresentaremos o Método Estocástico. • Capítulo 4: Aqui discutiremos o potencial de Lennard–Jones e as modificações para melhor adequarmos a interação às simulações computacionais. • Capítulo 5: Neste capítulo discutiremos como fora construído o programa principal que utilizamos para simular, através dos métodos da Dinâmica Molecular, um sistema de N partículas interagindo de acordo com o potencial de Lennard–Jones. • Capítulo 6: Neste capítulo utilizaremos os dados obtidos com o programa principal para estudar os parâmetros do Método Estocástico. • Capítulo 7: Aqui realizaremos a comparação entre os resultados esperados e o obtidos pela teoria e discutiremos as possíveis causas da diferença entre ambos. • Apêndices A, C e B: Nestes apêndices encontram-se alguns cálculos e demonstrações que, para uma melhor leitura da dissertação, foram colocados no final. • Apêndice D: Este apêndice é dedicado a um tema já estabelecido mas que apresenta muitas diferenças de notação e definições na literatura. • Apêndice E: Para uma rápida consulta, apresentamos aqui as expressões que relacio- nam as unidades físicas e reduzidas das grandezas presentes neste trabalho. • Apêndice F: Aqui se encontram apenas algumas informações sobre os programas utilizados.
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