Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

110 C.2. Isotropia da covariância
posição de vetores (rib)(rib) é uma matriz. Podemos enxergar sua estrutura escrevendo:
(rib)(rib) = (ri − rb)(ri − rb) = (xib ˆx + yib ˆy + zibˆz) (xib ˆx + yib ˆy + zibˆz) =
= x 2 ib ˆx ˆx + y 2
ib ˆy ˆy + z 2
ib ˆzˆz + xib yib ˆx ˆy + yib xib ˆy ˆx +
=
+ xib zib ˆxˆz + zib xib ˆzˆx + yib zib ˆyˆz + zib yibˆzˆy = (C.11)
⎛
⎜
⎝
x 2 ib xib yib xib zib
yib xib y 2
ib
yib zib
zib xib zib yib z 2
ib
⎞
⎟
⎠
A notação utilizada na equação (C.11) acima e em (C.9) é a mesma empregada no conceito de
díada. Uma díada é uma justaposição de vetores com uma ordem específica, tal como ˆx ˆy , e
um polinômio linear de díadas, como visto na equação (C.11), é uma diádica. Discussão sobre
este objeto e sua relação com tensores cartesianos de segunda ordem pode ser encontrada
no Nivaldo [32], Symon [57] ou na edição do Goldstein de 1980 [58], sendo a abordagem
do Symon a mais detalhada. A terceira edição do livro do Goldstein, publicada no ano de
2001, abandonou o tratamento das díadas pois, segundo os próprios autores, trata-se de
uma notação de uso restrito. Aqui, substituiremos a justaposição pela notação mais natural
envolvendo o vetor transposto, ou seja: (rab)(rab) = r ab r T ab .
Finalmente ao substituirmos a equação (C.10) em (C.6), obtemos:
Vqiqj =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
N
b = 1
b = i
∂ 2 Φ(rib)
∂ r 2 i
− ∂ 2 Φ(rij)
∂ r 2 i
=
N
b =1
b = i
f (rib) r ib r T ib + h(rib) 13
se i = j
= −f (rij) r ij r T ij − h(rij) 13 se i = j
que é a equação (3.35). Procedimento análogo ao empregado para chegarmos neste último
resultado no leva à matriz (3.2).
C.2 Isotropia da covariância
Na seção 3.6, realizamos o cálculo da média das matrizes menores Vqiqj para um poten-
cial de pares esfericamente simétrico e constatamos que eram proporcionais à identidade
(ver Eq. (3.37)). Aqui iremos argumentar que a média do produto entre as matrizes menores
em dois instantes distintos também é proporcional a identidade, ou seja:
V (t)V(t − τ)
qiqj =
N
Vqiqk (t)Vqkqj(t − τ) =
k =1
N
k =1
1
3 Tr Vqiqk (t)Vqkqj(t − τ) 13
Para τ = 0, podemos seguir os mesmos passos que nos levaram à
Vqiqj ∝ 13 , para obtermos
também VqiqkVqkqj
∝ 13 . No outro extremo temporal, ou seja, para τ → ∞ ,
a média do produto se fatora, Vqiqk (t)Vqkqj(t − τ) =
Vqiqk
Vqkqj , e ganhamos nova-