Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

3. Método Estocástico 17
de λ, mas sim a sua norma. Baseado nisso, vamos construir a seguinte matriz:
ξξ T ⎛ ⎞
⎛
ξ1
ξ
⎜ ⎟
⎜ ξ2 ⎟
⎜
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ξ1 ξ2 · · · ξ2n = ⎜
⎝ . ⎠
⎝
2 1 ξ1ξ2 · · · ξ1ξ2n
ξ2ξ1 ξ 2 ⎞
⎟
2 · · · ξ2ξ2n ⎟
.
. . ..
⎟
. ⎠
claro está que:
Tr
ξξ T
ξ2n
=
2n
i= 1
ξ 2
i
= ξ2
ξ2nξ1 ξ2nξ2 · · · ξ 2 2n
Se derivarmos com respeito ao tempo o produto ξξ T e utilizarmos (2.7), obtemos:
d
dt
ξξ T = Aξξ T + ξξ T A T = A ξξ T
(3.7)
onde definimos o superoperador linear A. Superoperador no sentido do objeto em que
ele atua: ao passo que o operador linear A atua no vetor ξ, o superoperador A atua
na matriz ξξ T . Em analogia com a mecânica quântica, chamaremos o produto ξξ T de
“matriz densidade ”, denotando-o por ρ, ou seja:
ρ(t) = ξ (t)ξ T (t)
Desta forma, a equação (3.7) passa a ser escrita como:
d
dt ρ(t) = A (t) ρ(t) (3.8)
e, conforme a equação (3.6), o expoente de Lyapunov em termos da média da matriz densi-
dade se escreve:
λ lim
t → ∞
1
2t
ln Tr ρ(t)
= lim
t → ∞
1
2t ln Tr ρ (t)
(3.9)
Como calcular a média de ρ(t) será discutido na próxima seção. Antes, notemos que a
decomposição mostrada em (3.4) para a matriz A(t) possui seu análogo também no caso do
superoperador A(t). Com efeito, partindo de sua definição dada em (3.7) e utilizando (3.4),
obtemos:
Aρ = Aρ + ρA T = (A0 + αA1)ρ + ρ(A0 + αA1) T
= A0 ρ + ρA T
0 + α A1 ρ + ρA T 1
=
A0 + α A1
ρ (3.10)
No decorrer deste capítulo, definiremos outros objetos que são superoperadores. Todos