Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

2. Expoente de Lyapunov 11
como sinônimo de λ1, expoente de Lyapunov ou simplesmente λ. Essa característica terá
implicações no desenvolvimento do modelo teórico que discutiremos no próximo capítulo.
Figura 2.2: Expoente de Lyapunov máximo para o mapa de Anosov (adaptado de [26]).
2.2.1 Exemplo: Mapa de Anosov
Um exemplo bastante ilustrativo de como a divergência de ξ (t) é dominada pelo expoente
de Lyapunov máximo é dado pelo experimento numérico realizado com o mapa de Anosov:
x ′ 1 = 2x1 + x2 x ′ 2 = x1 + x2 (módulo 1)
O mapa possui dois expoentes de Lyapunov: λ1,2 ≈ ± 0.96242. O gráfico mostrado na
figura 2.2 apresenta o resultado simulacional para a equação (2.10) (sem o limite) calculado
com a dinâmica gerada pelo mapa de Anosov. A condição inicial escolhida foi:
ξ (0) = c1 ξ1 (0) + c2 ξ2 (0)
com c1 = 0 e c2 = 1, ou seja, iniciou-se a propagação da trajetória ao longo da direção que
possui o menor expoente (a “pior” escolha). Iterando-se o mapa algumas vezes, 15 vezes
para precisão simples e 30 para dupla, erros numéricos de arredondamento introduzem uma
componente ao longo de ξ1, isto é, tornam c1 = 0, o que faz λ tender para λ1 para tempos
longos (ver Benettin et al. [26] e Hénon [11] para mais detalhes).
2.3 Método de Benettin
Uma teoria analítica para obter o expoente de Lyapunov deve ser capaz de reproduzir o
resultado do limite (2.10) com o vetor ξ (t) calculado de acordo com a dinâmica subjacente
ao problema. Numericamente, o expoente de Lyapunov máximo é calculado através do
método de Benettin (ver Benettin et al. [24,26] ) que consiste em computar a trajetória de