Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

2. Expoente de Lyapunov 9
Formalmente a dinâmica do vetor ξ ocorre no espaço tangente Tx(t)M do espaço de fa-
ses M e, por isso, ξ é chamado de vetor tangente. O que acabamos de fazer é o procedimento
usual de linearização utilizado ao estudarmos a estabilidade de sistemas dinâmicos não li-
neares na vizinhança de pontos de equilíbrio. Notar, no entanto, que nestes casos a matriz
jacobiana ∇XH(x) é calculada num ponto específico ao passo que na equação (2.6) ela é
calculada ao longo da trajetória x = x (t) não sendo, portanto, constante. Para enfatizar
esta dependência temporal, reescreveremos a equação (2.6) da seguinte maneira:
˙ξ (t) = A(t) ξ (t) com: A(t) = ∇XH(x)
x(t)
(2.7)
Para sermos mais precisos, deveríamos escrever A = A(t;x0) em virtude da definição de A
em termos do gradiente de XH na trajetória x = x (t;x0) . No entanto, por simplicidade,
explicitaremos apenas o t mas sem perdermos de vista que a solução de (2.7) resulta num
vetor ξ = ξ (t;x0, ξ 0).
É oportuno comentarmos que, para o caso em que os elementos da
matriz A(t) são periódicos, seria possível, em princípio, resolver o sistema (2.7) (Método de
Floquet, ver Meirovitch [5] , Ott [22] , entre outros). Contudo, periodicidade não constitui
uma regra para sistemas hamiltonianos no geral.
A evolução detalhada de um sistema constituído de muitas partículas (com muitos graus
de liberdade) é muito sensível a mudanças nas condições iniciais. Tais sistemas apresentam
órbitas x (t) instáveis, com perturbações que crescem exponencialmente com o tempo:
ξ (t) ∝ e λt
(2.8)
onde ξ é a norma euclidiana do vetor ξ que, de acordo com sua definição (2.4), mede a
separação entre as duas trajetórias como função do tempo no espaço de fases de dimensão 2n:
ξ (t) =
2n
i= 1
ξ 2
i (t) (2.9)
A equação (2.8) descreve um crescimento assintótico da norma dos vetores tangentes. Desta
forma, define-se o Expoente de Lyapunov λ de acordo com o limite:
λ = lim
t → ∞
1
t
ln ξ (t)
ξ (0)
(2.10)
que fornece uma medida quantitativa para taxa assintótica de divergência exponencial entre
duas trajetórias inicialmente próximas no espaço de fases. O inverso de λ possui dimensão
de tempo, em particular λ −1 indica o menor intervalo de tempo que caracteriza a instabi-
lidade dinâmica. A existência do limite mostrado em (2.10) é assegurado pelo teorema de
Osedelec (ver [23,24]). O teorema de Osedelec assegura também que, independentemente da
infinidade de escolhas possíveis para os vetores iniciais x0 e ξ 0 , o expoente λ pode assumir