Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

32 3.6. Médias da hessiana
pela média. Notar também que, devido à igualdade entre as N médias Vqiqi
escrever:
visto que:
1
3 Tr
Vq1q1 13 = 1
3N Tr V 13
Tr V =
N
i =1
Tr Vqiqi
= N Tr Vq1q1
, podemos
(3.44)
resultado que pode ser diretamente obtido ao tirarmos o traço da equação (3.41). Ao com-
binarmos a igualdade entre as médias das matrizes menores com a equação (3.31), obtemos:
Vqiqi
= −
N
j = i
Vqiqj
⇒ Vq1q1
= − (N − 1) Vq1q2
substituindo o lado direto da equação acima em (3.41) e utilizando (3.44), podemos escrever:
1
V =
3N Tr
V 13N −
1
N − 1
Y3N
(3.45)
Retornemos a atenção agora a média do produto das hessianas. Como mostrado na
equação (3.27), a covariância δV (t)δV (t − τ) , que envolve o produto das matrizes maio-
res 3N × 3N, pode ser dividida em duas partes: uma envolvendo o produto entre as médias
das matrizes menores 3×3, conforme equação (3.28), e outra envolvendo a média do produto,
conforme equação (3.29). Pela propriedade de simetria de translação temporal do sistema,
a média das matrizes Vqiqj é uma quantidade independente do tempo. Isso nos possibilita
escrever simplesmente:
Vqiqk (t) Vqkqj (t − τ) = Vqiqk
Vqkqj
sem a necessidade de explicitar a dependência em t . Como a média
Vqiqj é proporcional à
identidade (ver Eq. (3.40)), temos que o produto entre as médias também será proporcional
à identidade. Logicamente, a invariância por translação temporal afeta a hessiana como um
todo e não apenas as matrizes menores separadamente, ou seja:
V (t) V (t − τ) = V 2
Ao substituirmos o resultado mostrado em (3.45) na equação anterior, obtemos:
V 2 =
1
3N Tr V 2
13N +
1
(N − 1) 2
Y3N
2
−
2
N − 1
Y3N