Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

18 3.3. Método de van Kampen
serão simbolizados em negrito e com chapéu “ ”. Assumiremos que a exponencial de um
superoperador admite uma expansão em potências análoga ao caso matricial, por exemplo:
e t b A =
∞
k =0
t k
k! A k = 12n + t A +
t 2
2! A 2 + · · ·
sendo o primeiro termo da expansão igual a identidade 12n em virtude dos superoperadores
serem aqui definidos quando atuando em matrizes 2n ×2n. Desta forma, a exponencial
de um superoperador quando aplicada a uma matriz 2n×2n qualquer Q pode ser obtida
calculando-se termo a termo da expansão, resultado:
e t b A Q = e tA Q e tA T
3.3 Método de van Kampen
Como havíamos comentado, tratando x0 como uma variável aleatória, a equação (2.7) assume
o caráter de uma equação diferencial estocástica. No entanto, nosso interesse é estudar a
evolução da matriz densidade e, por isso, aplicaremos os métodos utilizados na solução
de equações estocásticas à equação (3.8) para obter a média de ρ(t) e depois calcular o
expoente de Lyapunov através de (3.9). Aqui, apresentaremos brevemente o que é tratado
em detalhes e com inúmeros exemplos no livro [29] e no artigo de revisão [30] ambos de
autoria de N. G. van Kampen que fez contribuições muito importantes na área.
3.3.1 Expansão em momentos
Iniciaremos passando a equação (3.8) para a representação da interação associada a A0 como
mostrado a seguir:
ρ(t) = e t b A0 u (t) (3.11)
Derivando a equação anterior com respeito ao tempo, utilizando (3.8) e a decomposição de A
mostrada em (3.10), obtemos a equação para a evolução da matriz u (t):
d
dt u (t) = αe−t b A0 A1 (t) e t b A0 u (t) = α L (t) u (t)
onde a igualdade mais à direita define o superoperador L . Este último resultado possui a
solução formal:
u (t) =
=
t
12n + α dt1
0
L (t1) + α 2
t t1
dt1 dt2
0 0
L (t1)
L (t2) + · · · u (0)
∞
12n + α k
t t1 tk−1
dt1 dt2 · · · dtk
0
L (t1) L(t2) · · ·
L (tk) u (0)
k =1
0
0