Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

72 6.4. Resultados para σ 2
λ
Onde definimos:
Γ (2)
2q (ri,rb) = Tr f (ria)r ia r T
2
ia
+ 2
f (ria)r 2
ia
Γ (2)
3q (ri,ra,rb) = Tr f (ria)ria r T
ia f (rib)rib r T
ib
+
h(ria)
f (rib)r 2
ib
h(ria)
+
f (ria)r 2
ia
+ 3 h(ria) h(rib)
2 + 3 h(ria)
h(rib) +
(6.8)
Existe uma sutileza que devemos considerar ao calcularmos médias computacionais como
as presentes no par de equações (6.8). Olhemos em mais detalhe uma destas médias. Consideremos,
por exemplo, o último termo de Γ (2)
2q (ri,rb) que envolve apenas a função h. Se
no decorrer da simulação forem realizadas M medições da posição, a média computacional
deste termo em particular deve ser calculado como a seguir:
N
i=1
N
h(ria) 2 =
a =1
a = i
N
i =1
N
1
M
a =1
a = i
M
h(ria (k))
k =1
2
(6.9)
onde mantivemos as somas em i e em a referentes à equação (6.7). Percebemos então
que a média é calculada sobre um único par ia de partículas por vez, resultado que não
ocorre na Parte 1 discutida mais acima nem em µ. Médias computacionais com esta carac-
terística devem ser efetuadas com um grande número de medições, com a finalidade de se
obter, para um único par, uma quantidade de dados estatisticamente significante. Para isso,
deve-se acompanhar a evolução do sistema por um período (muito) maior. Para contornar
esta dificuldade, utilizaremos uma técnica, sugerida em [47], que visa melhorar a acurácia es-
tatística do resultado sem a necessidade de aumentar o número de medições. Modificaremos
a equação (6.9) de forma a substituir a média calculada sobre um único par de partículas por
uma média calculada sobre a soma de todos os pares com o resultado devidamente dividido
pelo número total de pares, como mostrado a seguir:
N
i = 1
N
h(ria) 2 =
a = 1
a = i
−→
1
N(N − 1)
N(N−1) termos
N N
h(ria) 2 i= 1
N
i =1
a=2
a = i
N
2 h(ria) =
a =2
a = i
1
N(N − 1)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1
M
N
i =1
N
a = 2
a = i
M
k = 1
⎫
⎪⎬
h(ria (k))
⎪⎭
Modificação análoga foi realizada sobre todos os termos da Parte 2 presentes nas equações (6.8)
ao calcularmos as médias computacionais.
O resultado teórico para a Parte 2 de σ 2
λ
é obtido realizando a média canônica. Podemos
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