Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

3. Método Estocástico 27
é, depende da norma euclidiana de seu argumento:
Φ (2) (ra,rb) = Φ (2) (|ra − rb|)
A força derivada de Φ (2) com a propriedade acima é central e um sistema isolado interagindo
com um potencial deste tipo conserva o momento angular total.
Os gases nobres são satisfatoriamente descritos por um potencial de pares esfericamente
simétrico. Em estudos mais detalhados, leva-se em conta o termo de três corpos Φ (3) cujo
efeito nas propriedades termodinâmicas, mesmo nestes casos, podem ser incluídos através
de técnicas perturbativas (ver [31] ). Quando desprezamos Φ (1) (uma constante) e todos os
outros termos além de s = 2 na equação (3.32), obtemos o que comumente é chamado de
um fluido simples: um sistema clássico composto por N partículas idênticas e sem estrutura
interagindo via soma de potenciais de dois corpos esfericamente simétricos [34]. Então,
tratando-se de um fluido simples, podemos escrever:
U (r1, . . .,rN) =
N−1
a =1
N
Φ(|ra − rb|) (3.33)
b >1
Nos deteremos aqui neste tipo de sistema. Uma conseqüência imediata de trabalharmos
com o potencial da forma (3.33) é ganharmos a simetria das matrizes menores Vqiqj mesmo
quando i = j :
Vqiqj
ab = Vqiqj
ba
∀ i , j
Nas equações subseqüentes, escreveremos simplesmente Φ no lugar de Φ (2) estando suben-
tendida uma interação de pares.
3.6 Médias da hessiana
Retornemos a atenção novamente à média da hessiana. Com um potencial da forma (3.33),
a matriz menor 3 × 3 Vqiqj se escreve (ver detalhes no apêndice C):
Vqiqj = ∂ 2 U
∂ ri ∂ rj
= δij
N
b =1
b = i
∂ 2
∂ r 2 i
Avançando mais um pouco nos cálculos, obtemos:
Vqiqj =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
N
b = 1
b = i
∂ 2 Φ(rib)
∂ r 2 i
− ∂ 2 Φ(rij)
∂ r 2 i
=
N
b = 1
b = i
Φ(|ri − rb|) − (1 − δij)
f (rib) r ib r T ib + h(rib) 13
∂ 2
∂ r 2 i
Φ(|ri − rj|) (3.34)
se i = j
= −f (rij) r ij r T ij − h(rij) 13 se i = j
(3.35)