Expoente de Lyapunov para um Gás de Lennard–Jones - CBPFIndex

24 3.4. Média sobre vetores tangentes iniciais
Figura 3.1: Visão esquemática da média da matriz densidade ρ (t) no subespaço expandido
pelas matrizes Λ k 12n , k = 0, 1, 2, . . . .
Para avançarmos na análise, deveremos avaliar com mais detalhes as médias envolvendo a
hessiana V. Como antecipado na equação (3.3), a hessiana é uma matriz n ×n, onde n é o
número de graus de liberdade, cujos elementos envolvem as derivadas segundas do potencial.
A fim de facilitar a descrição, vamos particularizar o resultado assumindo que o sistema
em análise seja constituído por N partículas sem estrutura em dimensão 3. Assumiremos
também que as partículas são idênticas, o que significa massas iguais no caso de partículas
clássicas sem estrutura, fato que terá conseqüências mais adiante. Ao fazermos isso, podemos
associar as n = 3N coordenadas generalizadas com o vetor posição das N partículas e
escrever o potencial da seguinte maneira:
U = U (q1, q2, q3, . . . , q3N) = U (r1, . . .,rN)
sendo ri o vetor posição da partícula i , ou seja, |ri| 2 = x 2 i + y 2
i + z 2
i para um sistema
cartesiano de coordenadas. Fisicamente, um potencial que dependa apenas das coordenadas
de posição descreve a interação entre moléculas esfericamente simétricas, como as moléculas
dos gases nobres (ver [31] para mais detalhes). Desta forma, podemos escrever a matriz V